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第7章 相关与回归分析
1、设销售收入x为自变量,销售成本y为因变量。现已根据某百货公司某年12个月的有关资料计算出以下数据(单位:万元):
(1)拟合简单线性回归方程,并对方程中回归系数的经济意义作出解释。
(2)计算可决系数和回归估计的标准误差。
(3)对回归系数进行显著性水平为5%的显著性检验。
(4)假定下年一月销售收入为800万元,利用拟合的回归方程预测销售成本,并给出置信度为95%的预测区间。
解:(1)定性分析可知,销售收入影响销售成本,以销售收入为自变量,销售成本为因变量拟合线性回归方程,采用最小二乘法估计回归参数得:
因此,拟合的回归方程为:
其中,回归系数表示自变量每变动一个单位,因变量的平均变量幅度。在此,表示销售收入每增加1万元,销售成本平均增加0.7863万元。
(2)可决系数
(本问接下来的计算不做要求:为计算回归系数的标准误差,根据离差平方和分解,可知:
因此有)
(3)陈述假设:
在原假设成立的前提下,构造t检验统计量
在5%的双侧检验显著性水平下,查自由度为10的t分布表,得临界值,因此拒绝原假设。说明在5%的显著性水平下,销售收入与销售成本具有显著的线性依存关系。
(4)根据拟合的回归方程,当销售收入为800万元时,销售成本的均值的点估计为:
(本问接下来的计算不做要求:置信水平为95%的条件下,销售成本的置信区间为
其中,
因此,置信区间为:)
2、美国各航空公司业绩的统计数据公布在《华尔街日报1999年年鉴》(The Wall Street Journal Almanac 1999)上。航班正点到达的比率和每10万名乘客投诉的次数的数据如下:
航空公司名称
航班正点率(%)
投诉率(次/10万名乘客)
西南(Southwest)航空公司
81.8
0.21
大陆(Continental)航空公司
76.6
0.58
西北(Northwest)航空公司
76.6
0.85
美国(US Airways)航空公司
75.7
0.68
联合(United)航空公司
73.8
0.74
美洲(American)航空公司
72.2
0.93
德尔塔(Delta)航空公司
71.2
0.72
美国西部(Americawest)航空公司
70.8
1.22
环球(TWA)航空公司
68.5
1.25
(1)画出这些数据的散点图;
(2)根据散点图。表明二变量之间存在什么关系?
(3)求出描述投诉率是如何依赖航班按时到达正点率的估计的回归方程;
(4)对估计的回归方程的斜率作出解释;
(5)如果航班按时到达的正点率为80%,估计每10万名乘客投诉的次数是多少?
思路:基本计算步骤请参见第1题,在此仅给出答案。
(1)以航班正点率为横坐标,乘客投诉率为纵坐标,绘制散点图。
(2)根据散点图可以看出,随着航班正点率的提高,投诉率呈现出下降的趋势,两者之间存在着一定的负相关关系。
(3)设投诉率为y,航班正点率为x,建立回归方程
采用最小二乘估计方法估计参数,得到估计的回归方程为
(4)回归方程的斜率表示航班正点率每提高一个百分点,相应的投诉率平均下降0.07次/10万名乘客。
(5)航班按时到达的正点率为80%,估计每10万名乘客投诉的次数可能为:
7、表中给出对和回归的结果:
离差来源
平方和()
自由度()
平方和的均值()
来自回归(SSR)
来自残差(SSE)
总离差(SST)
65965
—
66042
—
—
14
—
—
该回归分析中样本容量是多少?
计算;
和的自由度是多少?
计算多重可决系数和修正的多重可决系数;
怎样检验和对是否有显著影响?根据以上信息能否确定和各自对的贡献为多少?
思路:(1)由于总离差平方和的自由度为n-1=14,可知样本容量n=15;
(2)SSE为残差平方和,对应于总离差平方和扣除来自回归的平方和,即
(3)残差平方和SSE的自由度为(n-k-1),回归平方和SSR的自由度为k,其中k为自变量的个数。显然SSE的自由度为12,回归平方和的自由度为2;
(4)多重可决系数
修正的多重可决系数
(5)检验X2和X3对Y是否有显著影响,等价于检验该二元线性回归方程是否显著成立。因此,采用F检验。
在第一自由度为2,第二自由度为12的F分布条件下,计算F值对应的P值为2.512E-18,几乎接近于0的一个概率,F统计量远比F临界值大,说明x2和x3联合起来对y有显著影响。
但并不能确定x2和x3各自对y的贡献为多少,因为信息有限,无法单独看某个自变量对y是否有显著影响。
第8章 时间序列分析
1、某汽车制造厂2005年产量
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