数学建模--短程赛跑中运动员速度变化情况.doc

. . 短程赛跑中运动员速度变化情况 摘 要 本文就讨论“短程赛跑过程中速度变化情况”的问题参考了Keller的赛跑模型建立了动态优化数学模型. 在赛跑路程确定的前提下，通过利用最优化原理，建立动态规划模型对运动员在短程赛跑过程中速度v与时间t的关系进行了讨论，得到在赛跑过程中速度受到自身生理条件的限制、内外阻力等因素的影响，并假定冲力f满足微分方程关系式，内外阻力h与速度成正比. 针对问题一，根据已知条件求解微分方程，并根据牛顿运动第二定理得出速度v关于时间t的表达式为v(t)；路程s满足的表达式为s(t)；再通过MATLAB对问题二表格中的数据进行非线性拟合，求解出运动员在赛跑过程中达到最大速度的时间为6.2645s；最后由已求得的数据得出速度v关于时间t的最终表达式v(t)，并利用MATLAB的plot函数作出了v(t)的示意图，发现 针对问题二，将表格中的数据逐个代入到速度v关于时间t的最终表达式v(t)中，即可算出速度v 关键词 跑步速度 阻力系数 最大冲力 冲力限制系数 非线性曲线拟合 问题重述 经研究发现在短跑比赛中，运动员由于生理条件的限制在达到一定的高速度后不可能持续发挥自己的最大冲力. 假设运动员克服生理限制后能发挥的冲力满足f(t)f(t)=-1k 问题： （1）试建立模型求出短跑比赛时速度v(t)和距离s(t)的表达式，及达到最高速度的时间，作出v(t)的示意图. 　 （2） 某届奥运会男子百米决赛前6名在比赛中达到距离s处所用的时间t和当时的速度v如下表所示（平均值）： s(m) 0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 t(s) 0 0.955 2.435 3.435 4.355 5.230 6.085 6.945 7.815 8.690 9.575 v(m/s) 0 5.24 9.54 10.52 11.19 11.62 11.76 11.49 11.47 11.36 11.22 试从这组数据算出的理论值与实际数据比较. 你对这个模型有什么解释和评价. 问题分析 运动员在赛跑过程中速度由于受到自身生理条件的限制、内外阻力等因素的影响，会随着时间的变化而变化. 在距离一定的前提下，运动员身体所能提供的冲力越大，受到的内外阻力越小，则赛跑过程中所能达到的最大速度越大，成绩越好. 冲力的能量来源主要是呼吸作用产生的能量以及人体储存的能量，前者可以假设保持一定，而后者会随着时间的增加而不断消耗，因此在赛跑时运动员的冲力会不断减小，同时内外阻力会随着速度的增加而增加，由此可以得出在赛跑过程中的速度随着时间的变化先增大，在达到最大速度之后则会有所减少. 在讨论问题过程中，认为阻力与速度成正比，运动员的质量为单位质量. 针对问题一，由于运动员克服生理限制后能发挥的冲力满足的微分方程已知，可知等式两边关于自变量t积分求出冲力f(t)关于时间t的关系式；运动员在赛跑过程中的内外阻力h满足h=1τv；则根据牛顿第二定理F合=ma=mdvdt,即可求出运动员比赛时速度v关于时间t的表达式v(t)；再根据v=dsdt,对v(t) 由于得到的表达式v(t)是关于自变量t及参数τ,k,F的函数，并且运动员不一定就在问题二表格中的某一点恰好达到速度最大值，故要求出达到最高速度的时间t，就要通过问题二中的数据利用MATLAB进行非线性拟合，得出拟合函数再进行求导计算，同时求解出拟合出的参数τ,k, 要作出v(t)的示意图，就要根据vt=0得出t关于参数τ,k,F的表达式t*，并将在进行拟合时求得的达到vm时的时刻t和路程s，同时带入到表达式vt,st,t 针对问题二，由于在问题一中已经通过讨论得到了v(t)的确定表达式，分别带入表格中的数据，得到速度v 模型假设 赛跑时体内外的阻力与速度成正比，比例系数为1τ, 运动员能发挥的最大冲力为F,初速度为0 运动员的质量为单位质量，即m=1 在t=0 符号表示 t 运动员奔跑时间 t f 运动员奔跑过程中的冲力 F 运动员奔跑过程中的最大冲力 F a 运动员奔跑过程中的加速度 v 运动员奔跑过程中的跑步速度 vm s 运动员奔跑过程中的跑步距离 s h 运动员奔跑过程中受到的内外阻力 k 冲力限制系数 k m 运动员质量 τ 奔跑过程中体内外阻力的比例系数的倒数 τ v(t) s(t) t* 模型建立与求解 在问题一中，可建立微分方程模型，通过对已知的ft满足的微分方程进行求解，同时利用牛顿运动第二定理对建立的微分方程进行两次积分，即可得出短跑比赛时速度v(t)和距离s(t)的表达式；再通过MATLAB软件对问题二表格中数据进行非线性拟合，求出拟