学生版-高中数学必修2直线与圆的位置关系知识点总结经典例题与习题.docx

高中数学必修 2 直线与圆的位置关系 【一】、圆的定义及其方程． 1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹 )叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径； （圆心是定位条件，半径是定型条件） （ 2）圆的标准方程： ；圆心 ( a, b) ，半径为 r ； 圆的一般方程： x 2 y 2 Dx Ey F 0(D 2 E 2 4F 0) ；圆心 ，半径为 ； 【二】、点与圆的位置关系 （仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理） 设 P(x0 , y0 ) 与圆 (x a) 2 ( y b) 2 r 2 ；若 P 到圆心之距为 d ； ①P在在圆 C外 ； ②P在在圆 C内 ； ③P在在圆 C上 ； 【三】、直线与圆的位置关系  ： 设直线  l : Ax  By  C  0 和圆  C : ( x  a)2  ( y  b)2  r 2 ，圆心  C 到直线  l 之距为  d  ，由直线  l 和圆  C 联立 方程组消去  x （或  y ）后，所得一元二次方程的判别式为  ，则它们的位置关系如下： 相离  ；相切 ；相交  ； 注意 ：这里用  d 与 r 的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用  判定称为代数 法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。 【四】、两圆的位置关系： 1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。 2）几何法：设圆 O1 的半径为 r1 ，圆 O2 的半径为 r 2 ①两圆外离 ；②两圆外切 ； ③两圆相交 ；④两圆内切 ⑤两圆内含 ； 五） 2 2 2 ，直线 L： Ax+By+C=0 已知圆 C： (x-a) +(y-b) =r (r0) 1．位置关系的判定： 判定方法 1：联立方程组 得到关于 x( 或 y) 的方程 △0 相交； △=0 相切； △0 相离。 判定方法 2：若圆心 (a ， b) 到直线 (1)dr 相交； (2)d=r  L 的距离为 d 相切； (3)dr  相离。 例 1、判断直线 L： (1+m)x+(1-m)y+2m-1=0 与圆 O：x2+y2 =9 的位置关系。 例 2、求圆 x2+y2 =1 上的点到直线 3x+4y=25 的距离的最大最小值 1．切线问题 例 4、求过下列各点的圆 C：x2+y2-2x+4y-4=0 的切线方程： (1) ； （2） B(4 ，5) 已知圆 O： x2 +y2=16，求过点 P(4,6) 的圆的切线 PT的方程。 注： 判断直线与圆的位置关系有两种方法， 但利用圆心到直线的距离与半径的关系来判断在计算上更简洁。 过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切线，只有一条。 6、从直线 L：2x-y+10=0 上一点做圆 O： x2 +y2=4 的切线，切点为 A、B，求四边形 PAOB面积的最小值。 2、弦长问题 8、 若点 P(2，-1) 为圆 (x-1) 2+y2=25 的弦 AB的中点，求直线 AB的方程。 若直线 y=2x+b 与圆 x2+y2 =4 相交于 A、 B 两点，求弦 AB的中点 M的轨迹。 经过原点作圆 x2+y2+2x-4y+4=0 的割线 l ，交圆于 A、 B 两点，求弦 AB的中点 M的轨迹。 精选习题： 在直角坐标系中，直线 A．B．C．  x 3y 3 0 的倾斜角是（ ） D． 2 6 3 6 3 2 直线 ax by c 0 同时要经过第一 第二 第四象限，则 a、 b、 c 应满足（ ） A． ab 0,bc 0 B． ab 0, bc 0 C． ab 0, bc 0 D． ab 0, bc 0 B． 3 直线 3x 4 y 9 0 与圆 x2 y 2 4 的位置关系是（ ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 4 过两点 ( 1,1)和(3,9) 的直线在 x 轴上的截距是 ( ) A． 3 B ． 2 C ． 2 D． 2 2 3 5 5. 若直线 ax+by=1 与圆 x2 +y2=1 相交，则点 P(a，b) 的位置是 ____ A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 以上皆有可能 6．已知点 A(1,2), B(3,1) ，则线段 AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ． 4x 2 y 5 B． 4x 2 y 5 C． x 2 y 5 D． x 2 y 5 7．若 A( 2,3), B(3, 2), C (1 , m) 三点共线 则 m 的值为（ ）