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人教版高中数学必修二第三章直线与方程知识点总结
第三章 直线与方程
1、直线倾斜角的概念: 当直线 l 与 x 轴相交时 , 取 x 轴作为基准 , x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角 .特别地 ,当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , 规定 α = 0° .
2、 倾斜角 α的取值范围: 0°≤ α< 180° . 当直线 l 与 x 轴垂直时 , α= 90° .
3、直线的斜率 :⑴一条直线的倾斜角 α (α ≠ 90° )的正切值叫做这条直线的斜率 ,常用小写字
k 表示 ,也就是 k = tanα 。
①当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , α=0° , k = tan0° =0;
②当直线 l 与 x 轴垂直时 , α = 90° , k 不存在 .
当
0 , 90 时, k
0 ,k 随着 α的增大而增大;
当
90 ,180
时, k
0 , k 随着
α 的增大而增大;
当
90 时, k 不存在。
由此可知 , 一条直线 l 的倾斜角 α一定存在 ,但是斜率 k 不一定存在 .
⑵过两点 P1 ( x1 , y1 )、 P2 ( x2 , y2 ) 的直线的斜率公式:
k
y2
y1 ( x1
x2 )
x2
x1
注意下面四点:
(1) 当 x 1
x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为
90°;
(2)k 与 P1 、 P2 的顺序无关;
以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率,再求倾斜角。
※ 三点共线的条件: 如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等,那么这三点共线;反之,三点共线,任意两点连线的斜率不一定相等。解决此类问题要先考虑斜率是否存在。
4、直线方程(注意各种直线方程之间的转化)
①直线的点斜式方程:
y y0 k( x x0 ) ,k 为直线的斜率,且过点
x0 , y0 , 适用条
件是不垂直 x 轴。
注意: 当直线的斜率为
0°时, k=0,直线的方程是 y y0 。
当直线的斜率为
90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因
l
上每一点的横坐标都等于
x0,所以它的方程是 x=x0 。
②斜截式: y
kx
b , k 为直线的斜率,直线在 y 轴上的截距为 b
③两点式:
y
y1
x
x1 ( x1 x2 , y1 y2 )直线两点 x1, y1 , x2 , y2
y2
y1
x2
x1
④ 截矩式: x
y
1 ,其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0,b) ,即 l 与 x
a
b
轴、 y 轴的截距分别为 a,b 。
⑤一般式: Ax By C 0 ( A, B 不全为 0)
注意: ①在平时解题或高考解题时,所求出的直线方程,一般要求写成斜截式或一般式。
②各式的适用范围
③ 特殊的方程如:
平行于 x 轴的直线:
y
b ( b 为常数);平行于 y 轴的直线: x
a ( a 为常数);
5、直线系方程:即具有某一共同性质的直线
( 1)平行直线系
平 行 于 已 知 直 线 A0 x
B0 y C0
0( A0,B0是不全为 0 的常数)的直线系:
A0 x
B0 y
C
0( C 为常数),所以平行于已知直线
A0 x
B0 y
C0 0 的直线方程可设:
A0 x B0 y C 0, C C0
垂直于已知直线
A0 x
B0 y
C 0
0
( A0, B0
是不全为
0
的常数)的直线方程可设:
B0 x
A0 y
C
0 (C 为常数)
( 2)过定点的直线系
①斜率为 k 的直线系: y
y0 k x
x0
,直线过定点
x0 , y0
;
②过两条直线 l1 : A1x
B1 y C1
0 , l2
: A2 x
B2 y
C2
0 的交点的直线系方程为
A x B y C
A x B y C
0
(
为参数),其中直线 l
2
不在直线系中。
1
1
1
2
2
2
6、两直线平行与垂直
( 1)当 l 1 : y
k1 x b1 , l 2 : y
k2 x b2 时,
l1 // l 2
k1
k2 , b1
b2 ; l1
l 2
k1k2
1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
( 2)当 l1 : A1 x B1 y
C1
0 , l2 : A2x
B2 y C2
0 时,
l1 // l 2
A1 B2
A2 B1
0且 B1C2
B2 C1
0 ; l1
l 2
A1 A2
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