第四章板壳理论.ppt

第四章 薄板稳定问题 薄板的屈曲（稳定性） 薄板稳定性问题的基本方程 用静力法求解板的稳定性 用能量法求板的稳定性 §4.1 薄板的稳定性 薄板在边界上受纵向载荷。 受拉时：薄板平面平衡的状态是稳定的 要使薄板进入弯曲状态，必须施加横向的干扰力 干扰力除去后，薄板还会恢复到原来的平面平衡状态 受压时：当纵向压力超过某一数值时（即临界载荷）薄板的平面平衡状态是不稳定的。 薄板受到干扰而弯曲后，如果去掉干扰，薄板不在回到原来的平面平衡的状态，而进入一个弯曲的平衡状态。 这个弯曲的平衡状态是稳定的。 薄板在纵向压力的作用下，处于弯曲的平衡状态，这种现象称为屈曲。 §4.1 薄板的稳定性 重点：求临界载荷 方法： 静力法：也叫平衡法，用静力学研究稳定性的方法，基于静力平衡方程。 动力法：基于有限自由度系统发展起来的。 能量法：通过判断离开平衡位置后势能增量的正负号来研究弹性体的稳定性。 §4.2 薄板稳定性问题的基本方程 薄板的平面应力问题：当薄板在边界上受纵向载荷作用时，由于板很薄，我们可以假设只发生平行于中面的应力，而且这些应力不沿薄板的厚度变化。 每单位长度上的平面应力合成为如下的中面内力或薄膜内力： 同时受到横向和纵向联合作用时： 如果纵向载荷很小，因而中面内力也很小，对薄板弯曲影响可以不计，我们可以分别计算两个载荷引起的应力，再叠加。 如果纵向载荷不小，考虑中面内力对弯曲的影响。我们需要推导这种情况下的微分方程。 §4.2 薄板稳定性问题的基本方程 x, y方向的投影平衡方程，得 §4.2 薄板稳定性问题的基本方程 z方向的投影平衡方程 横向载荷的投影 横向剪力的投影 拉应力的投影 纵向剪力的投影 §4.2 薄板稳定性问题的基本方程 横向载荷的投影 横向剪力的投影 拉应力的投影 §4.2 薄板稳定性问题的基本方程 纵向剪力的投影 §4.2 薄板稳定性问题的基本方程 所有z方向力的投影和等于零： 利用： 得： 再利用 得 §4.3 静力法求薄板的稳定性 在分析薄板屈曲问题从而求临界载荷时，我们假设： 纵向载荷分布规律已知 纵向载荷大小未知 静力法求解发生屈曲时纵向载荷的最小值（临界载荷）的步骤： 首先用平面应力问题的求解方法，求出由纵向载荷引起的平面应力 　 ，从而求出用未知的纵向载荷来表示的中面内力 　。 令横向载荷q＝０，得到如下的薄板屈曲微分方程 求解临界载荷的问题转换为：使屈曲微分方程有满足边界条件的非零解，纵向载荷的最小数值是多少？ §4.3 静力法求薄板的稳定性 例1：四边简支的矩形薄板，厚度为t，它的两对边受有均布压力，在板边的每单位长度上为Px。 由平面问题可知，由Px引起的平面应力为： 于是平面内力 代入屈曲微分方程得 §4.3 静力法求薄板的稳定性 取挠度的表达式为： 代入到屈曲微分方程中，得： Amn有非零解的条件是： 从而得到临界载荷 §4.3 静力法求薄板的稳定性 令n=1，得临界载荷： 或： 其中： §4.3 静力法求薄板的稳定性 针对m的不同取值，得到长宽比a/b与k的关系曲线 §4.3 静力法求薄板的稳定性 例2：四边简支的矩形薄板，厚度为t，双向受均布压力，在边的每单位长度上分别为Px及Py =cPx 由平面问题可知，由Px和Py引起的平面应力为： 薄膜内力为： §4.3 静力法求薄板的稳定性 代入屈曲微分方程得 取挠度的表达式为 代入到屈曲微分方程中，得： §4.3 静力法求薄板的稳定性 从而得到临界载荷 对于已知的比值a/b及c，取不同m和n的值求出不同的临界载荷。当Py为拉力时，c取负值，上式仍适用。 §4.3 静力法求薄板的稳定性 例3：两对边简支的矩形薄板，厚度为t，它的两简支边受有均布压力，在板边的每单位长度上为Px。 代入屈曲微分方程： 得 §4.3 静力法求薄板的稳定性 取挠度的表达式为： 代入到屈曲微分方程中，得： 它对于的特征方程是： 这个代数方程的四个跟是： §4.3 静力法求薄板的稳定性 大多数情况： 取正实数： 少数情况下： 此时： Ym的解答为： §4.3 静力法求薄板的稳定性 挠度为： 利用y=0和y=b处的四个边界条件得到C1至C4的联立代数方程组。当薄板屈曲时， C1至C4 不能都为零，因而只能要求该方程组的系数行列式等于零，得到关于Px的一个方程（通常是超越方程），取不同m可以得到屈曲临界载荷。 §4.4 能量法求薄板的稳定性 稳定性的辨别：薄板在纵向压载荷作用下处于平面平衡状态，如果薄板受到横向干扰进入临界的某一弯曲状态，在干扰力去除