chapter6-Fourier级数和积分变换.ppt

例题3 求对称指数函数f(t)的傅立叶变换 傅立叶变换 傅立叶变换 傅立叶变换的性质 一般假定 f(x) → F(ω)， g(x) → G(ω) 奇偶虚实性 f(x)为偶函数，F(ω)=∫f(x)cos(ωx)dx/(2π)为实函数； f(x)为奇函数，F(ω)=-i∫f(x)sin(ωx)dx/(2π)为虚函数 线性性质 k f(x) → k F(ω)； f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω) 分析性质 f ’(x) → iωF(ω)； 傅立叶变换 位移性质 f(x-a) → exp(-iωa)F(ω) ； exp(iφx)f(x) → F(ω-φ) 相似性质 f(ax) → F(ω/a)/a； f(x/b)/b → F(bω) 。 卷积性质 f(x)*g(x)≡∫f(ξ)g(x-ξ)dξ → 2πF(ω)G(ω)； f(x)g(x) → F(ω)*G(ω)≡∫ F(φ)G(ω-φ)dφ 对称性质 正变换与逆变换具有某种对称性； 适当调整定义中的系数后，可以使对称性更加明显。 傅立叶变换 应用举例 傅立叶变换 推广 推广1 问题：把定义在 [0, ∞) 上的函数 f(t)展开； 方法：先把它延拓为(-∞,∞)上的奇函数或偶函数， 再按公式进行傅立叶变换； 注意： 偶函数满足条件f’(0)=0，形式为 f(|t|)； 奇函数满足条件f(0)=0，形式为 sgn(t)f(|t|). 结果：所得到的傅立叶积分仅在原定义范围中与f(t)一致。 傅立叶变换 推广2 问题：多元函数的傅立叶变换 公式： 狄拉克函数 概念 问题 质点的密度函数如何表示？ 思路 质点是物体在尺度趋于零时的理想模型； 一个位于原点的单位质点，可以看成一个线密度为h rect(hx)的物体在宽度d=1/h趋向零时的极限； 极限密度为δ(x)=lim h→∞ h rect(hx) 一般定义 狄拉克函数 狄拉克函数 性质 奇偶性质 δ(-x)=δ(x)， δ’(-x)=-δ’(x) 分析性质 选择性质 ∫f(x)δ(x-a)dx=f(a)，∫f ’(x)δ(x-a)dx=-f’(a) 变换性质 狄拉克函数 狄拉克函数的应用 描述功能 位于x=a处质量为m的质点，质量线密度为mδ(x-a)； 位于x=a处电量为q的点电荷，电荷线密度为qδ(x-a)； 位于t=a时刻强度为I的脉冲信号，信号函数为Iδ(t-a)； 分解功能 质量密度为ρ(x)的物体，可分解为质点的空间叠加 ρ(x) = ∫ρ(a)δ(a-x)da 电荷密度为ρ(x)的带电体，可分解为点电荷的空间叠加 ρ(x) = ∫ρ(a)δ(a-x)da 信号函数为ρ(t)的信号，可分解为脉冲信号的时间叠加 ρ(t) = ∫ρ(a)δ(a-t)da 狄拉克函数 狄拉克函数的推广 问题： 三维空间中的质点的密度、点电荷的电荷密度。 三维狄拉克函数： δ(r)=δ(x,y,z)=δ(x)δ(y)δ(z) 应用 位于r=a处质量为m的质点，质量体密度为mδ(r-a)； 位于r=a处电量为q的点电荷，电荷体密度为qδ(r-a)； 本章小结 傅立叶级数 周期函数的三角展开公式； 基本三角函数的性质。 傅立叶变换 非周期函数的三角展开公式； 傅立叶变换的性质。 狄拉克函数 狄拉克函数概念； 狄拉克函数性质； 狄拉克函数应用。 本章作业 第一节 第二节 第三节 基础题 6-1 6-2 中等题 6-3 6-4 6-5 6-6 6-7 6-8 6-9 难题 6-10 6-11 6-12 例3. 设 的表达式为 f (x)＝x , 将 f (x) 展成傅里叶级数. 是周期为2? 的周期函数,它在 解: 若不计 周期为 2? 的奇函数, 因此 n＝1 根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数: 级数的部分和 n＝2 n＝3 n＝4 逼近 f (x) 的情况见右图. n＝5 例4. 将周期函数 展成傅里叶级数, 其 中E 为正常数 . 解: 是周期为2? 的 周期偶函数 , 因此 例5. 将函数 分别展成正弦级 数与余弦级数 . 解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓, 注意: 在端点 x = 0, ? , 级数的和为0 , 与给定函数 因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 再求余弦级数: 将 则有 作偶周期延拓 , 说明: 令 x = 0 可得 即 Application: 1.Fourier Optics: /wiki/Fourier_optics1. 注意：n=0的特殊情况 * 频谱这个术语来自于光学. * * 相当于单调函数，可逆。 * 数学物理方法 傅立叶变换 傅里叶生平 1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可