专升本高等数学课件 第三章.pptVIP

一、原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 [例12] 求 一、第一类换元法—凑微分法 二、第二类换元法——变量代换法 三、小结 [例26] 求 一、基本内容 二、例题分析 三、小结 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、可积的充分条件（定积分存在定理） 四、定积分的几何意义 五、定积分的性质 一、复习与回顾 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式 四、小结 一、换元公式 二、分部积分公式 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分（瑕积分） 三、小结 二、体积 三、平面曲线的弧长 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 第二节 微积分基本公式 一、复习与回顾 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式 四、小结 思考题 1.定积分定义： 2.关系： 连续 可积 有界 可导 3.解决牛—莱公式问题的思路： ⑴ 建立一个新函数—积分上限函数： ⑵ 着重研究积分上限函数的一条重要性质： ⑶ 用此性质来证明牛—莱公式： 有有限个间断点的有界函数 考察定积分 记 —积分上限函数（或变上限积分） 1.【定义】 2. [积分上限函数的性质] 则变上限函数 [证] 略 【定理1】若 在[a , b]上可导，且 3. [原函数存在定理] 【定理2】 [定理的重要意义] (1) 肯定了连续函数的原函数是存在的. (2) 初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 【定理 3】 [微积分基本公式] [证] 略 牛—莱公式 ( 牛顿 — 莱布尼兹公式) 记作 【微积分基本公式表明】 2.求定积分问题转化为求原函数的问题. [例1] 求 原式 [解] [例1] 求 [例2] 求 [解] [例3] 求 [解] [解] 面积 [使用牛顿—莱布尼兹公式必须注意] （1）被积函数 f (x) 在[a,b]上连续 （2）F(x)是 f (x) 在[a,b]上的原函数. [补例1] [分析] 方法：可采用积分区间的分割性质，分段积分. [解] 【结论】 一般地 , 凡可积的分段函数都可以应用积分区间的可加性 , 在各区间段上分别用牛—莱公式进行定积分. [补例2] 求 [解] 由图形可知 3.微积分基本公式 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 内容小结 第三节 定积分的换元法和分部积分法 一、换元公式 三、小结 思考题 二、分部积分公式 【定理1】设函数 单值函数 满足: 1) 2) 在 上 则 【注】当 时，上述换元公式仍成立. [ 应用换元公式求定积分时应注意] (1) 换元法有三换 三换 换元必换限——上限对上限，下限对下限. 换被积函数—— 换微分———— 一阶连续导数 (2) 换元后求出的原函数中的新变量不必代回 (3) 换元公式也可反过来使用 , 即 或配元 配元不换限 换元必换限 [例1] 计算 [解] 令 换元必换限 [例2] 计算 [解] 配元不换限 [例3] 计算 [解] 容易出错 配元不换限 分段函数应分段积分. 配元不换限 [例4] 计算 [解] 令 换元必换限 则 ∴ 原式 = 且 [例5] [证] (1) 若 (2) 若 对称奇偶性——“偶倍奇零” 定积分证明题：常用换元法 奇偶函数在对称区间上的定积分的性质: ——“偶倍奇零” 奇函数 [补例] 计算 [解] 原式 偶函数 单位圆的面积 几何意义 [例7] 设 f (x)是以T为周期的连续函数，则对任意a，有 一个周期上的积分值与起点无关 定积分证明题 周期函数的定积分的性质: [证] 令 将a 视为变数，则?(a)可导(?) 更一般地有 【定理2】 则 一阶连续导数 [例10] 计算 [解] 原式 = [例11] 计算 [解] 令 三、内容小结 换元积分法 分部积分法 换元必换限 配元不换限 边积边代限 2.几个重要的特殊结果： 1.基本积分法 对称奇偶性“偶倍奇零” 第四节 反常积分 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分（瑕积分） 三、小结 思考题 （2）瑕积分（被积函数无界） 以上各节所讲定积分是正常情况下的积分，它满足两条： (1)积分区间为有限区间[a,b] (2)被积函数为有界函数（可积的必要条件） [推广] （尤其常见的是连续函数） （1）无穷限的反常积分（积分区间无限） 反常积分 【引例】曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 [例6] 求 [解] 令