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第十四讲 三角形的四心
(一)、基本知识:
1、外心: 外接圆的圆心,若为的外心,则,
外心为三角形三条边的垂直平分线的交点
2、内心:内切圆的圆心,若为的外心,则
内心为三角形三条角平分线的交点
3、重心:三角形三条边的中线的交点,若为的重心,则
4、垂心:三角形三条边的高线的交点
5、正三角形的四个心都是同一个点,这个点在正三角形的中央
6、等腰三角形的四个心都在底边的中线上
7、内角平分线定理:中,的角平分线和边交于点,则
(二)、例题选讲
例1:(1)如图1,三角形的三条边的长度分别:,求这个三角形的外接圆半径和内切圆半径
(2)如图2,三角形的三条边的长度分别:,求这个三角形的外接圆半径和内切圆半径
(3)如图3,三角形的三条边的长度分别:,求这个三角形的外接圆半径和内切圆半径
例2:如图4,中,已知,圆为内切圆,直线
和边交于点,回答下列问题
(1)求的面积和的长度
(2)求圆的半径
例3:如图5,中,且为的重心,直线和边交于点,回答下列问题
(1)求的长度
(2)求的长度
(3)求和的面积之比
例4:如图6,满足条件,设为的垂心
(1)求的长度
(2)求的长度
(3)求的值
(三)、课后练习
1、如图7,满足,求外接圆和内切圆的半径
2、如图8,满足
(1)在图中的坐标系中分别写出点的坐标
(2)分别求出的外心和内心坐标
3、如图9,满足,点为的重心
(1)求的长度
(2)求的长度
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