《控制工程基础》（张磊）第四章根轨迹.pptVIP

6. 根轨迹的起始角与终止角 终止角为 ： 其中 : 终止角为 根轨迹终点处的切线与水平线正方向间的夹角。 4.3 绘制根轨迹的基本法则 根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有极点位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根 ，系统处于临界稳定状态。 7.根轨迹与虚轴的交点 4.3 绘制根轨迹的基本法则 方法1 将s= 代入特征方程中得 或 令 则可解出值及对应的临界开环增益 及K来。 例 已知系统开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点。 解: 系统闭环特征方程为 令s= ，代入上式得 即 联立得 4.3 绘制根轨迹的基本法则 方法2 根轨迹与虚轴交点坐标也可通过劳斯判据求出。仍以上例为例，其劳斯表为 解 得 即为所求。 4.3 绘制根轨迹的基本法则 以上七条规则是绘制根轨迹图必须遵循的基本规则。应用这些规则，可以方便快捷地绘制出根轨迹的大致形状。借助于MATLAB软件，可以得到精确图形。 必须指出，根轨迹最重要的部分不在实轴上，也不在无限远处，而是在靠近虚轴和坐标原点的区域。对于这个区域中根轨迹的绘制一般没有什么规则可循，只能按相角条件画出。 此外，绘制一幅完整的根轨迹图尚需注意以下几点： (1) 根轨迹的起点用符号“?”表示；终点用“?”表示； (2) 根轨迹由起点到终点是随系统的K* 值的增加而运动的，要用箭头表示根轨迹运动的方向； (3) 为便于系统的分析与综合，通常对于一些特殊点的K*，图中应予以标出。 4.3 绘制根轨迹的基本法则 试绘制该系统的根轨迹图。 例1 已知系统开环传递函数为 4.4 控制系统的根轨迹绘制与分析举例 解： 根据 法则1：分支数为max(3,1)=3； 法则2：起点为0，-2，-3；终点为-1，无穷远； 法则3：实轴上的根轨迹[-1，0]和[-3，-2]； 法则4：渐近线n-m=2条； 法则5：分离点在[-3，-2]内； 因为 或 将上式对s求导，并令其为零，得 解得s1=-2.47（分离点），s2，3=?（舍去）。 根据以上规则绘制出该系统的完整根轨迹图如图所示。 试绘制该系统的根轨迹图。 例2 已知系统开环传递函数为 解： 根据 法则1：分支数为max(3,0)=3； 法则2：起点为0，-1，-2；终点为无穷远； 法则3：实轴上的根轨迹（-?，-2]和[-1，0]； 法则4：渐近线n-m=3条； 法则5：分离点: 解得d1=-0.42（分离点），d2=-1.58（舍去）。 法则6：无起始角和终止角； 法则7：根轨迹与虚轴的交点 令 则 实部为 虚部为 得 ， 根据以上规则绘制出该系统的完整根轨迹图 试绘制该系统的根轨迹图。 例3 已知系统开环传递函数为 解： 根据 法则1：分支数为max(1,2)=2； 法则2：起点为-1±j；终点为-2和无穷远； 法则3：实轴上的根迹（-?，-2] ； 法则4：渐近线n-m=1条； 法则5：分离点: 解得d1=-3.414（分离点），d2=-0.586（舍去）。 根据以上规则绘制出该系统的完整根轨迹图 法则6：起始角 4.4.2 根轨迹分析举例 绘制系统根轨迹是为系统分析、设计服务。在时域分析法中，一般是通过系统的单位阶跃响应来分析系统的性能；而根轨迹法分析系统，则是由系统的零、极点分布，分析闭环极点随系统参数变化而改变其在复平面上的分布位置，来估算系统的性能指标。 对控制系统的基本要求是稳、准、快。要满足这些要求，闭环的零极点应如何分布呢？ (1) 为保证系统稳定，则闭环极点都必须在s的左半平面上。 4.4.2 根轨迹分析举例 (2) 若闭环极点远离虚轴，则阶跃响应的每个对应的分量都衰减得快，系统的快速性就好。 试利用根轨迹计算系统的动态性能指标。 例1 某系统闭环传递函数为 解： (4) 距虚轴最近的闭环极点为主导极点；工程上当极点 A 距离虚轴大于 5 倍极点 B距离虚轴的距离时，分析系统时可忽略极点 A 。此时，高阶系统近似看做为一、二阶系统，可直接利用时域分析章节中时域响应公式计算性能指标。 4.4.2 根轨迹分析举例 一阶系统，故系统无超调；调整时间 试利用根轨迹计算系统的动态性能指标。 例2 某系统闭环传递函数为 解： 4.4.2 根轨迹分析举例 工程上认为某极点与对应的零点之间的间距小于它们本身到原点距离的十分之一时，即可认为是偶极子。 系统传递函数中，如果分子分母具有负实部的零、极点数值上相近，则可将该零点和