归纳复变函数3.1 中值定理.ppt

12 100 12 100 12 100 12 100 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 第三章 微分中值定理 与导数的应用 ;.; 一、罗尔(Rolle)定理 第一节 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 微分中值定理 ;.; 费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 且 存在 证: 设 则 证毕 ;.; 罗尔（ Rolle ）定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点 ;.; 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 注意: 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 则由费马引理得 ;.; 使 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且 在( a , b ) 内至少存在一点 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 . 2) 定理条件只是充分的. ;.; 例1. 证明方程 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设 ;.; 1. 设 且在 内可导, 证明至少存 在一点 使 提示: 由结论可知, 只需证 即 验证 在 上满足罗尔定理条件. 设 ;.; 拉格朗日中值定理 (1) (2) 使得 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 注 f (x) 在(a, b) 内可导. f (x) 在 [a, b] 上连续; : ) ( 满足 若函数 x f , ) , ( x 内至少存在一点 则在开区间 b a ;.; 拉格朗日 (1736 – 1813) 法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 及数论方面都作出了重要的贡献, 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一. ;.; 几何意义： C2 h x O y A B a b y=f (x) C1 x ;.; 证明 作辅助函数 拉格朗日中值定理 (1) (2) 使得 f (x) 在(a, b) 内可导. f (x) 在 [a, b] 上连续; : ) ( 满足 若函数 x f , ) , ( x 内至少存在一点 则在开区间 b a ;.; 证明 拉格朗日中值定理 (1) (2) 使得 f (x) 在(a, b) 内可导. f (x) 在 [a, b] 上连续; : ) ( 满足 若函数 x f , ) , ( x 内至少存在一点 则在开区间 b a ;.; 证 作辅助函数 由此得 拉格朗日中值公式 易知 微分中值定理 , ] , [ ) ( 上连续 在闭区间 b a x g 内 开区间 ) , ( b a 可导， 使得 内至少存在一点 故在开区间 , ) , ( x b a . 也成立 对 a b ;.; 于是，拉格朗日中值公式也可改写成 上式也可叫做拉格朗日中值公式。也可以写成下式 拉格朗日公式表达了函数在一个区间上的增量与 函数在该区间内某点处的导数之间的关系 ;.; 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 或 特别地, 或 拉格朗日中值公式另外的表达方式： ;.; 推论 证 有 由条件, 即在区间I中任意两点的 函数值都相等, 所以, ;.; 例 证 由上式得 设 由 关键 满足拉格朗日中值定理的条件, ;.; 例 证 ;.; 例 证： 由推论 ;.; 三、柯西(Cauchy)中值定理 分析: 及 (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点 使 满足 : 要证 ;.; 证: 作辅助函数 且 使 即 由罗尔定理知, 至少存在一点 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? 两个 ? 不 一定相同 错! 上面两式相比即得结论. ;.; 柯西定理的几何意义: 注意: 弦的斜率 切线斜率 ;.; 例 设 至少存在一点 使 证: 结论可变形为 设 则 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ? , 使 即 证明 ;.; 例5. 试证至少存在一点 使 证: