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2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案
考试时间2017年3月19日9 : 00— 11 : 00满分150分
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)。每道小题均给出了代号为 A , B , C, D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里 ,
不填、多填或错填都得0分)
?设a “ 2 ,3 2-,则a -的整数部分为( )
a
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 B
【解答】 由 a2 =2 ? .3 2 2 3 . 2- 3 ? 2 - J3 = 6,知 a ―飞。
TOC \o 1-5 \h \z (a 丄)2 =6 2 1 =8 1,4 : (a ~)2 : 9。a 6 6 a
1
因此,a ?丄的整数部分为2。
a
(注:a-^C4?34;23」3—1 )
V2 V2 V2 V2
.方程2x ?(—X )2 =3的所有实数根之和为( )
x—2
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】 A
【解答】方程 2x (―^)2 =3化为 2x(x -2)2 ? x2 =3(x -2)2
x —2
即 x3 _5x2 10x _6 =0,(x _1)(x2 _4x 6) =0。
解得X =1。经检验X =1是原方程的根。? ? ?原方程所有实数根之和为
解得X =1。经检验X =1是原方程的根。
? ? ?原方程所有实数根之和为1。
3.如图,A、B、C三点均在二次函数y=x2的图像上,M为 线段AC的中点,BM // y轴,且MB =2。设A、C两点的横坐标 分别为t、t2 (t2t ),则t2 7的值为( )
A. 3 B. 2 3 C. -2.2 D. 2 2
【答案】 D
【解答】
依题意线段AC的中点M的坐标为
,2
厂)。
2 2
由 BM // y 轴,且 BM =2 ,
由 BM // y 轴,且 BM =2 ,
2 2
2 2 由点B在抛物线y =x2上,知」_2=(」)2。
2 2
整理,得 2t; ? 2t; -8 ? 2址2 tf,即(t2 -ti)2 =8。
结合 t2 - ti,得 t2 -1 =2-、2 o
4.如图,在RtAABC中,.ABC =90,D为线段BC的中点,E在线段AB内,CE与AD
值为( )A. 3B.辽C. ? D .迈7714 7【答案】B
值为( )
A. 3
B.辽
C. ? D .迈
7
7
14 7
【答案】
B
【解答】如图,过B作BK // AD与CE的延长线交于点K 贝U由 AE 二 EF 可得,.EBK =/EAF =/AFE =/BKE。
EK=EB o
又由D为BC中点,得F为KC中点。
AB = AE EB = FE EK = KF = FC =3 o
BC 二. AC2匚AB2 二 7^32 =2.10 o
/ BC 2 用
cos _ACB =
AC 7
或解:对直线AFD及△ BCE应用梅涅劳斯定理
得 BD CF EA 1
得, 1 o
DC FE AB
由D为线段BC的中点,知BD=DC o
又 AE 二 EF,因此,AB 二 CF =3。
结合AC =7 , ? ABC =90,利用勾股定理得,BC =2?.10
BC 2 10 所以,cos-ACB =
AC 7
5.如图,0为△ ABC的外接圆的圆心,R为外接圆半径,且 R = 4。直线 AO
5.如图,0为△ ABC的外接圆的圆心,
R为外接圆半径,
且 R = 4。直线 AO、BO、CO
分别交△ ABC的边于D、E、F,则A- B^CF J的值为(
A.-
4
B.-
3
C.-
2
D.-
3
【答案】
C
【解答】
由条件及等比定理,
得
0A SAOAB
AD SAABD
Sa oac oab ■ oac
SA ACD SA ABD SAACD
SA OAB SA OAC
SA ABC
同理,
OB
BE
SA + SAOBC 0C
Sa abc CF
SA
OBC Sa
OAC
。
Sa ABC
) A
(第 5 题)
OA OB OCAD BE CF=2(Sa oab Sa oac) (Sa oab Saobc ) (Sa obc Sa oac
OA OB OC
AD BE CF
=2
Saabc
又 OA = OB = OC = R = 4 ,
1112 1
AD BE CF R 2
二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
TOC \o 1-5 \h \z 6 .记函数y = x2 -2x ? 3 ( -仁x空2 )的最大值为
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