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???????????????????????必威体育精装版 料推荐??????????????????? 函数与导数知识点 【重点知识整合】 1. 导数的定义：设函数 y f ( x) 在 x x0 处附近有定义，当自变量在 x x0 处有增量 x 时，则函数 y f ( x) 相 y f ( x0 x) f ( x0 ) ，如果 0 时， y 与 y y 应地有增量 x x 的比 x（也叫函数的平均变化率） 有极限即 x y f ( x) x x y x x0 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数 在 0 处的导数，记作 ，即 f (x0 ) lim f ( x0 x) f ( x0 ) x x 0 . 注意：在定义式中，设 x x0 x ，则 x x x0 ，当 x 趋近于 0 时， x 趋近于 x0 ，因此，导数的定义式可写 成 f ( x0 ) lim f (x0 x) f (x0 ) lim f ( x) f ( x0 ) x o x x x0 x x0 . 导数的几何意义： f ( x0 ) lim f (x0 x) f ( x0 ) f ( x) 在点 x0 f ( x) 在点 x0 处 x 是函数 y 的处瞬时变化率， 它反映的函数 y 导数 x 0 变化的快慢程度 . 它的几何意义是曲线 y f ( x) 上点（ x0 , f ( x0 ) ）处的切线的斜率 . 因此，如果 y f ( x) 在点 x0 可导，则曲线 y f (x) 在点（ x0 , f (x0 ) ）处的切线方程为 y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 注意：“过点 A 的曲线的切线方程”与“在点 A 处的切线方程”是不相同的，后者 A 必为切点，前者未必是切点 . 3. 导数的物理意义： 函数 s s(t) 在点 t0 处的导数 s (t0 ), 就是物体的运动方程 s s(t) 在点 t0 时刻的瞬时速度 v ，即 v s (t0 ). 4．几种常见函数的导数： C 0 ( C 为常数 ) ； ( xn ) nx n 1 ( n Q ) ； sin x ； (ln x) 1 1 (sin x) cos x ； (cos x) x ； (log a x) x log a e ； (ex ) ex ； ( ax ) ax ln a . 5. 求导法则： 法则 1： [ u( x) v(x)] u ( x) v (x) ； 法则 2 ： [ u( x)v(x)] u ( x) v( x) u( x)v ( x) , [ Cu( x)] Cu ( x) ； - 1 - ???????????????????????必威体育精装版 料推荐??????????????????? u u v uv (v 0) 法则 3 ： v v2 . 6. 复合函数的导数：设函数 u ( x) 在点 x 处有导数 u x ( x) ，函数 y f (u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y u f u ，则复合函数 y f ( ( x)) 在点 x 处也有导数，且 yx yu ux 或 f x ( ( x)) f (u) (x) 导数与函数的单调性 1. 函数 y f ( x) 在某个区间内有导数，如果 f ( x) 0 ，那么函数在这个区间上是增函数 , 该区间是函数的增区间； 若 f ( x) 0 ，那么函数在这个区间上是减函数，该区间是函数的减区间 . 2. 利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤 : 1 求 f ( x) ; 2 确定 f ( x) 在 a, b 内符号 ; 3 若 f ( x) 0 在 a, b 上恒成立， 则 f ( x) 在 a,b 上是增函数； 若 f (x) 0 在 a, b 上恒成立，则 f ( x) 在 a,b 上是减函数 导数与函数的极（最）值 1. 极大值： 一般地， 设函数 f ( x) 在点 x0 附近有定义， 如果对 x0 附近的所有的点， 都有 f (x) f (x0 ) ，就说 f ( x0 ) 是函数 f (x) 的一个极大值，记作 y 极大值 f ( x0 ) ， x0 是极大值点 . 2. 极小值： 一般地， 设函数 f ( x) 在 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f ( x) f ( x0 ) 就说 f ( x0 ) 是函 数 f (x) 的一个极小值，记作 y 极小值 f (x0 ) ， x0 是极小值点 . 极值：极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值