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第 42卷
第 j期
武汉大学学报 (自然科学 版)
Vo1.42 No.5
1996年
10月
J W uhan Univ.(Natura1Science Edition)
Oct.1996
Liouville分布与贝叶斯估计
67、 7
君 庭
021/,《^;
(武汉大学管理学院,武汉 430072)
A 摘要 讨论了作为敌利克雷分布推广的Liouvi[1e分布对于多项分布抽样情形下的贝叶斯
估计,井给出其风险函数与极大似然估计和狱利克雷先验分布下贝叶斯估计风险函数的比较
关 列 表,童
风险函数
分类号 0 211.67
0 引 言
不 多复 的表.如果将它看成 是一个 体中 得的 察值 ,理 上,能用 x。,x 一,x来表示 本 .因此 ,它可以用多元的随机向量来表示 (参 文献E1,2]).
如果用 x=( 一,x -,置 )表示 本, =( , ,? , ) 表示相 的多 分布参数. Ⅳ
本大小,N=∑置固定. 服从多 分布x~— (Ⅳ.)有似然函数
㈦
这里l()为多项组合数,即【(Ⅳx)J一 X !? X
定义于 f—I 纯形
={( -, z,?,A一一)∈R ; ≥0.i 1(1)£一1,∑A≤1
或£维 超平面
西 ={( 一, 。‘. )∈ A≥o,i一1(1)f,∑ =1)
上 .
x的支撑集为
‘∈R ; ≥o 整数,i—l(1)t,∑ =Ⅳ
收稿日期:1995 01 16. 陈 君:男,3| .博士 生
* 国家自然科学基金 助的
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武汉大学学报 (自然 科学版)
第 42卷
当狄利克雷分布作为多项分布的先验分布,即 ~D (a),n一(n , ,? m ) ,a 狄利克雷参数,D 表示 f 情形下的狄利克雷分布. 目的后 分布亦为狄利克雷分布:
狄利克雷分布是多 分布的共 型先 分布.关 于 0.在平方 差 失函数下的 叶斯估
计有:
N X,+ 轰
K:∑q, :c~,/K. 一( , ,?. ),且
a一 +
为目的极大似然估 计. 函数有:
R(O,a )一E(N 0 a z)一1一 l0 :
和 R(O, a)一E(N I3一a lI)一
Ⅳ( )骞 ¨( (1一|{Ic0 )
其中 ·lI表示 R h欧氏距离 .
1 Lio~ville分布作为多项分布的先验分布
Liouvile分布推广了狄利克雷分布,Liouvi[1e分布的定义如下0 :
定义 f 向量 X∈R 服从 Liouville分 布,当 ry. 里 y服从国 上的狄利克雷分
布 D (a),r与 y独立,有密度函数 ,, 称 服从 Liouvile分布.并 ~L(n,)
y称 狄利克雷基,n 狄利克雷参数,r称 生成 量,厂 生成密度函数
不加 明地引用关于 Liouvi[1e分 布的若干性质如下
性 1.1 x服从 L(a,,),它有分布密度函数
—薹L-血Ⅱ
奎 言
,(∑x)(∑x,) 。
兀r(q)一
一
性 1.2 服从 L(。,),其混合矩 算公式
(兀 x )一 .·Ⅱ ,/
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第 5期 陈拥君等:Liouville分布与 l叶 斯估计
其中,m一∑ . =∑ 一E( ).符号[]表示升序 乘.eg. 一cn十Ⅲ一1)?(n+
考 生成 量 r服 从 它分布, Liouvile分布称 它一Liouvile分布,其分布密度函数为
』 ( 1一 _ 园时
l0, 当日∈ 国 时
其中.Beta(·,·)为 口_函数.
用 它一Liouvile分布作多 分布
X ~ .(Ⅳ . )
参数 的先 分布, 0~BL,.(口 ··, ;n,),假定÷( , ,?, 一)服从狄利克雷分布
D卜。(n - ).r=∑ 一1一 服从 它分布Be(口,).
BL
定理 1 对 于多项分布抽样 ,xIF~从 (N, ),取 0的先验 分布 为 它一Liouvile分布(nl, ,?.n卜.;口. ), 后验分布为 它一Liouvile分布 BL川 (口 一 X ··, XH ;
n+∑X,,p+X,).即贝它Liouvile分布为多项分布的共轭型先验分布.
证 由多 分布及后 分布的定 ,0~0后 密度函数 正比于
Ⅱgo, r (1一∑ )r (∑ )
即后验分布依然是贝它 Liouvile分布,有
f ~BL ( +X “Oe —XH;口+∑X ,户+X )
2 贝它一Liouvile先验分布下的贝叶斯估计
关于平方差损失函数 F 的贝叶斯估计,有以 F结 论:
定理 2 于 服从多 分布 (~, )t 的先 分布 取 它一Liouv
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