热温度场有限元.ppt

第 8 章 温度场与热变形问题 工程中的许多结构在高温条件下工作或由于工作过程中运动 副的摩擦发热，都会导致结构产生温度升高，产生热变形或 温度应力，因此，减少或控制热变形 / 温度应力是设计中不可 忽视的问题。 工程设计中，常期望准确地计算出结构各个部位的温升或热 变形量，分析结构的热平衡状况，从而达到改进结构设计或 环境设计，减少热变形对工作精度的影响。 本章介绍： 1 、温度场问题的基本方程 2 、平面稳态温度场的有限元法 3 、热变形的计算 8-1 温度场问题的基本方程 一般三维问题，物体各点的温度是坐 标和时间变化的，即 x x q q dx x ? ? ? x y z dx d z d y y ? Q z z q q dz z ? ? ? y y q q dy y ? ? ? z q y q x q ( , , , ) T T x y z t ? 热平衡原理：任一 dt 时间内， 物体内任一微元体所积蓄的热 量 ( 即温度升高所需的热量 ) 等 于传入该微元体的热量与微元 体内热源所产生的热量之和， 即 微元温度 升高 所需热量 传入微元 的 净热量 微元内 产生的 热量 ＝ ＋ 8-1 温度场问题的基本方程 设微元在 dt 内，温度升高为： T T T dt t T c dxdydz dt t ? ? ? ? ? ? ? ( ) x x x x q q q dydzdt q dx dydzdt dxdydzdt x x ? ? ? ? ? ? ? ? , y z q q dxdydzdt dxdydzdt y z ? ? ? ? ? ? 相应所积蓄的热量为： 同一时间内，微元体沿 x 方向传入和传出的热量之差，即净热 量为： 类似， y ， z 方向的净热量： 8-1 温度场问题的基本方程 ( ) y x z q q q dxdydzdt x y z ? ? ? ? ? ? ? ? ? , , x x y y z z T T T q k q k q k x y z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [ ( ) ( ) ( )] x y z T T T k k k dxdydzdt x x y y z z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 代入上式得传入微元体净热量为： 即传入微元体的净热量为： 由热传导定律：热流密度与温度梯度成正比，而方向相反， 即： 8-1 温度场问题的基本方程 设微元体内有热源，其热源密度为 Q(x,y,z,t) ，则该热源在 dt 内所共给的热量为 [ ( ) ( ) ( )] x y z T T T T c dxdydz dt k k k dxdydzdt Qdxdydzdt t x x y y z z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Qdxdydzdt ? 微元体温度升 高所需的热量 三个方向传入微 元体的净热量 微元体内热源 产生的热量 —— 物体密度 c —— 比热，单位质量物体温度升高一 度所需的热量 —— 热传导系数 ? , , x y z k k k 据热平衡得一般热传导微分方程： 8-1 温度场问题的基本方程 整理得： ( ) ( ) ( ) 0 x y z T T T T c k k k Q t x x y y z z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同，热传导 方程可写为以下形式 满足上述热传导方程的解有无限多个，为了确定真实的温 度场，计算物体内部的温度分布，还需要指定初始条件和 边界条件。 2 2 2 2 2 2 0 T T T T c Q t x y z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8-1 温度场问题的基本方程 1 1 1 ( , , , ) | ( , ) T x y z t T t ? ? ? ? 在 边界上 ( ) a T k T T n ? ? ? ? ? 同时，还需知道物体表面与周围介质间进行热交换的规律， 即边界条件，称为第二类边界条件。 初始条件是指物体最初的温度分布情况，称为第一类边界条 件。 0 ( , , , ) ( , , ) t T x y z t T