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高考数学（文）专题 提分攻略 提分攻略一 三角函数与解三角形的最值问题 策略一 三角函数的最值问题 三角函数的最值问题是高考的高频考点，常与三角恒等变换相结合考查。 主要解题思路为：(1)化简三角函数，利用三角函数的图象与性质；(2)采用换元法，转化为二次函数的最值问题。 【例1】　(1)已知函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sinxcosx，若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，m))上的最大值为eq \f(3,2)，则m的取值范围是________。 (2)函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)cosx－eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))的最大值是________。 【解析】　(1)f(x)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)cos2x＋eq \f(\r(3),2)sin2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2)。由题意－eq \f(π,3)≤x≤m，所以－eq \f(5π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤2m－eq \f(π,6)。要使得f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，m))上的最大值为eq \f(3,2)，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，m))上的最大值为1。所以2m－eq \f(π,6)≥eq \f(π,2)，即m≥eq \f(π,3)。 (2)f(x)＝sin2x＋eq \r(3)cosx－eq \f(3,4)＝－cos2x＋eq \r(3)cosx＋eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))。设t＝cosx，由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，可得t∈[0,1]，所以函数f(x)可转化为g(t)＝－t2＋eq \r(3)t＋eq \f(1,4)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(\r(3),2)))2＋1，t∈[0,1]。g(t)max＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))＝1，故函数f(x)的最大值是1。 【答案】　(1)eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，＋∞))　(2)1 (1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求最值。 (2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求最值。 策略二 三角形中的最值 利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值问题，一般是指先运用正、余弦定理进行边角互化，然后通过三角形中相关角的三角恒等变换等，构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基本不等式等来处理。破解此类题的关键点如下。 ①定基本量，根据题意或几何图形理清三角形中的边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本变量，确定基本变量的变化范围。 ②构建函数，将待求范围的变量，根据正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数关系式。 ③求最值，利用基本不等式或函数的单调性、有界性等求最值。 【例2】　已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝bcosC＋eq \f(\r(3),3)csinB。 (1)求B； (2)若b＝2，求ac的最大值。 【解】　(1)在△ABC中，因为a＝bcosC＋eq \f(\r(3),3)csinB， 所以sinA＝sinBcosC＋eq \f(\r(3),3)sinCsinB， 所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋eq \f(\r(3),3)sinCsinB， 化为cosBsinC＝eq \f(\r(3),3)sinCsinB，sinC≠0， 可得tanB＝eq \r(3)，B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3)。 (2)由正弦定理得eq \f(b,sinB)＝2R＝eq \f(4,\r(3))， 令y＝ac＝2RsinA·2RsinC ＝eq \f(16,3)sinAsinC＝eq \f(16,3)sinAsin