2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.1.1n次方根与分数指数幂4.1.2无理数指数幂及其运算性质学案含解析新人教A版必修第一册202103091172.doc

PAGE 4．1　指数 4．1.1　n次方根与分数指数幂 4．1.2　无理数指数幂及其运算性质 内　容　标　准 学　科　素　养 1.理解方根及根式的概念． 数学抽象 2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义． 3.掌握幂的运算. 授课提示：对应学生用书第50页 [教材提炼] 知识点一　n次方根及根式 eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题) 如果x2＝4，x3＝8中的x可以是多少？　　　 知识梳理　(1)n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N＋. 个 数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为eq \r(n,a) a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为±eq \r(n,a) a＜0 x不存在 , (2)根式 ①定义：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②性质：(n＞1，且n∈N＋) (ⅰ)(eq \r(n,a))n＝a. (ⅱ)eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数.)) 知识点二　指数幂及运算 知识梳理　(1)分数指数幂的意义 ①规定正数的正分数指数幂的意义是： aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)． ②规定正数的负分数指数幂的意义是： a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,a\f(m,n))＝eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s； ②(ar)s＝ars； ③(ab)r＝arbr. (3)无理数指数幂 无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用． [自主检测] 1．已知x5＝6，则x等于(　　) A.eq \r(6)　　　　　　　　　 B.eq \r(5,6) C．－eq \r(5,6) D．±eq \r(5,6) 答案：B 2．2eq \f(3,4)化成根式形式为(　　) A.eq \r(3,24)　　　　　　　　　　 B.eq \r(4,23) C.eq \r(4,32) D.eq \r(2,43) 答案：B 3．(0.027)－eq \f(2,3)的值是(　　) A.eq \f(100,9)　　　B.eq \f(9,100)　　　C.eq \f(10,3)　　　D.eq \f(3,10) 解析：(0.027)－eq \f(2,3)＝[(0.3)3]－eq \f(2,3)＝0.33×(－eq \f(2,3))＝0.3－2＝eq \f(1,?0.3?2)＝eq \f(1,0.09)＝eq \f(100,9). 答案：A 4．当8x10时，eq \r(?x－8?2)＋eq \r(?x－10?2)＝________. 解析：由8x10， 得 eq \r(?x－8?2)＋eq \r(?x－10?2)＝|x－8|＋|x－10| ＝(x－8)＋(10－x)＝2. 答案：2 授课提示：对应学生用书第51页 探究一　利用根式的性质化简求值 [例1]　(1)化简a＋eq \r(4,?1－a?4)的结果是(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2a C．1或2a (2)当a、b∈R时，下列各式总能成立的是(　　) A．(eq \r(6,a)－eq \r(6,b))6＝a－b B.eq \r(8,?a2＋b2?8)＝a2＋b2 C.eq \r(4,a4)－eq \r(4,b4)＝a－b D.eq \r(10,?a＋b?10)＝a＋b (3)设－3＜x＜3，求eq \r(x2－2x＋1)－eq \r(x2＋6x＋9)的值． [解析]　(1)a＋eq \r(4,?1－a?4)＝a＋|1－a|＝1或2a－1，故选C. (2)取a＝0，b＝1，A不成立． 取a＝0，b＝－1，C、D不成立． ∵a2＋b2≥0，∴B正确，故选B. (3)原式＝eq \r(?x－1?2)－eq \r(?x＋3?2) ＝|x－1|－|x＋3|. ∵－3＜x＜3， ∴当－3＜x＜1时， 原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2； 当1≤x＜3时， 原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4， ∴原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x－2，?－3＜x＜1?，,－4，?1≤x＜3?.)) [答案]　(1)C　(2)B　(3)见解析 (1)开偶次方根时，往往涉及绝对值问题． (2)在含有多个绝对值的式子中，常利用零点分段法，结合数轴完成，去绝对值，如图所示： 从而把数轴分成(－