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§12.3.2 柱面坐标系下计算三重积分 规定: 柱面坐标与直角坐标的关系为 三个坐标曲线为: 三坐标面分别为: 圆柱面; 半平面; 平 面. 如图,柱面坐标系中的体积元素为 * 如何计算 如果用平行于 z轴的直线去穿? 最多有 两个交点, 则 ?的边界可表示为: 上边界:z=g2(?, ?), 下边界:z=g1(?, ?), 其中D是 ?在 xOy坐标面上的投影, 如果D又可表示为 D:?????, h1(?)???h2(?) , 进一步有: 在柱面坐标系中也有先重后单的积分方法 区域 何时采用柱面坐标? 适用范围: 1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时表达形式简洁. 具体来说, ? ? 解 知交线为 解 所围成的立体如图, §12.3.3 利用球面坐标计算三重积分 球面坐标与直角坐标的关系为 规定: 三坐标面分别为: 圆锥面; 球 面; 半平面. 三个坐标曲线为: 球面坐标系中的体积元素为 解 利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意: 1、积分区域关于坐标面的对称性; 2、被积函数在积分区域上的关于某个自变量有 奇偶性. 解 积分域关于xOy坐标面对称, 被积函数是 的奇函数, 解 利用对称性化简三重积分计算 积分区域关于y=x=z对称,可满足积分与积分变量的名称无关 解:
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