高考导数压轴题型归类总结答案.docx

111112x2 xx 1 1 1 1 1 2 x 2 x x x 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线） 设函数 f ( x ) x 2 a . （ 1 ）当 a 1 时，求函数 g ( x ) xf ( x ) 在区间 [ 0 ,1] 上的最小值； （ 2 ）当 a 0 时，曲线 y f (x ) 在点 P ( x 1 , f ( x 1 ))(  x1  a ) 处的切线为 l ， l 与 x 轴交于点 A(  x  2 ,0 )  求证： x  1  x  2  a . (2) 证明：曲线 y f ( x) 在点  P (  x  1  ,2  x1 2  a)  处的切线斜率  k  f ( x1 )  2x  1 曲线 y f ( x) 在点 P处的切线方程为 2 y ( 2 x1 a ) 2 x1 ( x x 1 ) . 令  y  0  ，得  x  2 2 x1 2x  1  a  ，∴  x  2  x  1 2 x1 2 x  a  x  1  a  x 1 2 x 2 ∵  x  1  a ，∴  a  x1 2 x 1 2  0  ，即 x  2  x  1  . 又∵  x1 2  a 2 x1  ，∴ x  2  x 2 2x  1  a  x 2  a 2 x1  2  x 2  a 2 x1  a 所以 x1  x  2  a  . 2.  （ 2009 天津理 20 ，极值比较讨论） 已知函数 f ( x) ( x ax 2a 2 3a) e ( x R ), 其中 a R ⑴当 a 0 时，求曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率； ⑵当  a   时，求函数  f ( x )  的单调区间与极值 . 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分 类讨论的思想方法。 ⑴ 当 a 0时， f ( x) x e ， f ( x) ( x 2 2 x) e ，故 f  (1) 3e. 所以曲线 y f ( x)在点 (1, f (1))处的切线的斜率为 3e. ⑵ f  ( x ) x 2 ( a 2) x 2 a 2 4a e . 令 f ( x)  0，解得 x  2 a ，或 x  a  2 .由 a   知， 2 a  a  2 . 以下分两种情况讨论： ① 若 a ＞ 2  ，则  2 a ＜ a  2 . 当 x 变化时， f ( x )， f ( x )  的变化情况如下表： 3 x ， 2 a 2 a 2a， a 2 a 2 a 2， 所以 f ( x) 在 (  ， 2a)，(a 2， + 0 — ↗ 极大值 ↘ )内是增函数，在 ( 2 a， a 0 + 极小值 ↗ 2)内是减函数 . 函数 f ( x) 在 x 2a处取得极大值 f ( 2 a)，且 f ( 2 a) a ae . 函数 f ( x) 在 x a 2处取得极小值 f ( a 2)，且 f (a 2) a 2 ( 4 3a) e . ② 若 a ＜   ，则  2 a ＞ a  2 ，当 x 变化时， f ( x)， f ( x ) 的变化情况如下表： x ， a 2 a 2 a 2， 2 a 2a 2a， + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以 f ( x) 在 ( ， a 2)，( 2 a， )内是增函数，在 ( a 2， 2 a)内是减函数。 函数 f ( x) 在 x  a 2处取得极大值 f ( a 2)，且 f (a  2) a 2 ( 4 3a) e  . 函数 f ( x) 在 x 2a处取得极小值 f ( 2 a)，且 f ( 2 a) a ae . 3. （最值，按区间端点讨论） 已知函数  f(x)=lnx  － a x  . (1) 当 a 0时，判断 f(x) 在定义域上的单调性； (2) 若 f(x)  在 [1, e] 上的最小值为 3 2  ，求  a的值 . 解： (1) 由题得  f(x)  的定义域为 (0 , ＋∞ )，且  f ′(x)＝ 1 x  ＋ a 2 x  ＝ x a 2 x  . ∵ a0 ，∴ f ′(x)0 ，故 f(x) 在