控制系统的数学模型数学知识教学PPT课件.ppt

红河学院自动化系 自动控制原理 红河学院自动化系 自动控制原理 红河学院自动化系 第2章 控制系统的数学模型 （数学知识） 1、线性微分方程式的求解 2、拉普拉斯变换有关内容 线性定常微分方程求解 微分方程求解方法 ＊线性微分方程式的求解 工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路： 线性微分方程 时域t 拉氏变换 代数方程 复数域s 代数方程的解 求解 拉氏反变换 微分方程的解 1．拉氏变换的定义 如果有一函数满足下列条件： (1) t 0 时 f(t)=0 (2) t≥0 时 f(t)是分段连续的 f(t)的拉氏变换为： 0 F(s)=∫ f(t)e dt -st ∞ 记作 F(s)=L[f(t)] 拉氏反变换为： f(t)=L-1 [F(s)] 像 原像 2．常用函数的拉氏变换 (1) 单位阶跃函数I(t) f(t) t 0 1 0 F(s)=∫ I(t)e dt -st ∞ = S 1 (2) 单位脉冲函数δ(t) f(t) t 0 0 F(s)=∫δ(t)e dt -st ∞ =1 (3) 单位斜坡函数t f(t) t 0 0 F(s)=∫ t e dt -st ∞ = S2 1 (4) 正弦函数Sinωt t 0 f(t) = s2 +ω2 ω 0 F(s)=∫ Sinωt e dt -st ∞ (5) 余弦函数Cosωt 0 F(s)=∫ Cosωt e dt -st ∞ = s2 +ω2 s (6) 指数函数 -at e f(t) t 0 1 0 F(s)=∫ e e dt ∞ -at -st = 1 s+a (7) 抛物函数 t2 1 2 t2e 1 2 0 F(s)=∫ ∞ -st dt f(t) t 0 = S3 1 3．拉氏变换的定理 (1) 线性定理 L[af1(t)+bf2(t)] = aF1(s)+bF2(s) 例 求正弦函数f(t)=Sinωt的拉氏变换． 解： 2j e -e Sinωt = jωt -jωt L[Sinωt]= 2j 1 s-jω [ 1 - ] s+jω 1 = s2 +ω2 ω (2) 微分定理 L[ df(t) dt ] = sF(s)-f(0) 例 求阶跃函数f(t)=I(t)的拉氏变换． 解： 已知 d[t] dt =I(t) L[t]= s2 1 L[I(t)]= L( d[t] dt ) =s s2 1 -0 = 1 s L[ d2f(t) dt2 ] = s2F(s)-sf(0)-f(0) (3) 积分定理 L[∫f(t)dt] = 1 s F(s)+ f-1(0) s (4) 延迟定理 L[f(t-τ)] -τs =e F(s) 例 求f(t)=t-τ的拉氏变换． 解： f(t) t 0 t τ t-τ -τs F(s)=L[t]e = s2 -τs 1 e (5) 位移定理 -at L[e f(t)] =F(s+a) 解： 例 求f(t)=e Sinωt的拉氏变换． -at F(s)= (s+a)2+ω2 ω (6) 初值定理 Lim f(t )=lim sF(s) s→∞ t→0 (7) 终值定理 Lim f(t )=lim sF(s) t→∞ s→0 4．拉氏反变换 象函数的一般表达式： F(s) = b0 sm + b1 sm-1 + ··· + bm-1 s + bm a0 sn + a1 sn-1 + ··· + an-1 s + an 分解为 K(s –z1 )(s –z2 )···(s –zm ) (s –p1 )(s –p2 )···(s –pn ) = 零点 极点 转换为 = s-p1 A1 + s-p2 A2 +···+ s-pn An 则 p1t f(t)=A1e p2t +A2e pnt Ane +···+ 　　部分分式法求拉氏反变换 , 实际上是求待定系数A1 ,A2 ,…,An .极点的形式不同,待定系数的求解不同,下面举例说明. 待定系数 (1) 不相等实数极点 Ai= F(s)(s-pi ) s=pi 解： 例 求拉氏变换． s2+4s+3 F(s)= s2+5s+5 F(s)= =1+ + s+1 A1 s+3 A2 A1=F(s)(s-p1 ) s=p1 (s+1)(s+3) (s2+4s+3)+(s+2) s=-1 = (s+1)(s+3) (s+2)(s+1) 2 1 = A