[数学]含参不等式恒成立问题.doc

[ 阅读材料——含参不等式恒成立问题 ] 一、 判别式法 : 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。 一般地，对于二次函数 f (x) ax 2 bx c(a 0, x R), 有 （ 1） f ( x) 0对 x R 恒成立 a 0 ; （ 2） f (x) 0 对 x R 恒成立 a 0 . 0 0 注 : ① 2 恒成立 a b 0 a 0 ; ② 2 恒成立 a b 0 a 0 ax bx c 0对x R c 0 或 0 ax bx c 0对x R c 0 或 0 例：关于 x 的不等式 ax 2 ( a 1) x a 1 0 对于 x R 恒成立，求 a 的取值范围． 解 :(1) 当 a 0 时，原不等式化为 x 1 0 , 不符合题意，∴ a 0 . (2) 当 a 0 a 0 a 0 a 0 a 1∴ a 的取值范围为 ( , 1) 时 , 则 (a 1)2 4a(a 1) 0 3a2 2a 1 0 (3a 1)(a 1) 0 3 3 例：若函数 f (x) kx 2 6kx (k 8) 的定义域为 R，求实数 k 的取值范围 解： (1) 当 k 0 时， f ( x) 8 满足条件 . (2) 当 k 0时, 则 k 0 0 k 1 . 综合 (1)(2) 得： k 的取值范围是 [0,1] 36k2 4k(k 8) 2 例 : 已知函数 y lg[ x 2 ( a 1) x a 2 ] 的定义域为 ，求实数 a 的取值范围。 R 解：由题意得：不等式 x2 (a 1)x a2 0对 x R 恒成立，即有 (a 1) 2 4a2 0 ，解得 a 1或 a 1 。 (1 , 3 所以实数 a 的取值范围为 ( , 1) ) 3 例：若不等式 ax2 ax 1 0 的解集为 R , 求实数 a 的取值范围 . 解 : (1) 当 a 0 时 , 原不等式可化为 1 0 , 显然成立 (2) 当 a 0 , 则 a 0 , 得 4 a 0 综上 (1)(2) 得： a 的取值范围 ( 4,0] . a2 4a 0 例：已知关于 x 的不等式 ( m2 2m 3) x2 ( m 3) x 1 0的解集为 R, 求实数 m 的取值范围 . 解 :(1) 若 2 2 3 0 , 则 m 3或 m 1 , 当 m 3时，原不等式可化为 1 0 , 显然成立 ; m m 当 m 1时，原不等式可化为 4x 1 0 , 显然不成立 . m 3 (2) 若 2 m2 -2m-3 0 , 综上 (1)(2) 得： 的取值范围 1 m 2 3 0 则 m ( ,3] m , (m-3)2 4m2 - 2m-3 0 5 例 1、对于不等式 (1-m)x2+(m-1)x+30 ................ (*) （ 1）当 | x | ≤ 2， (*) 式恒成立，求实数 m的取值范围 （ 2）当 | m | ≤ 2， (*) 式恒成立，求实数 x 的取值范围 解 (2) : 设 g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （ m [-2,2] ） 则 恒成立  ； 阅读材料——含参不等式恒成立问题第  1 页共35  页 ]  1 [ 阅读材料——含参不等式恒成立问题 ] g(2)=-x2+x+30 * 若二次不等式中 x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 ( 如下例 ) 例： 设 f ( x) x 2 2mx 2 ，当 x [ 1, ) 时， f ( x) m 恒成立，求实数 m 的取值范围。 y 解：设 F ( x) x 2 2mx 2 m ，则当 x [ 1, ) 时， F (x) 0 恒成立 x 当4(m 1)(m 2) 0即 2 m 1时， F (x) 0 显然成立； -1 Ox 当0 时，如图， F ( x) 0 恒成立的充要条件为： 0 解得 3 m 2。 综上可得实数 m 的取值范围为 [ 3,1) 。 F( 1) 0 2 m 1 2 二、 最值法： 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： （ 1） f (x) a恒成立 f x a ( )min （或 f (x) （ 2） f ( x) a 恒成立 f (x)max a（或 f (x) 注：  的下界 a ） 的上界 a ） 例： 已知 f ( x) 7x 2 28x a, g (x) 2x3 4x 2 40 x ，当 x [ 3,3] 时， f (x) g( x) 恒成立，求实 数 a 的取值范围。 解：设 F ( x) f (x) g( x) 2x3 3x2 1