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[ 阅读材料——含参不等式恒成立问题
]
一、 判别式法 : 若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。
一般地,对于二次函数
f (x)
ax 2
bx
c(a
0, x
R), 有
( 1) f ( x)
0对 x
R 恒成立
a
0 ; ( 2) f (x)
0 对 x
R 恒成立
a
0
.
0
0
注 : ①
2
恒成立
a
b
0
a 0
; ②
2
恒成立
a
b
0
a
0
ax bx c 0对x R
c
0
或
0
ax bx c 0对x R
c
0
或
0
例:关于 x 的不等式 ax 2
( a
1) x
a
1
0 对于 x
R 恒成立,求 a 的取值范围.
解 :(1)
当 a
0 时,原不等式化为
x 1
0
, 不符合题意,∴ a
0 .
(2)
当 a
0
a 0
a 0
a 0
a
1∴ a 的取值范围为 (
,
1)
时 , 则
(a 1)2
4a(a 1)
0
3a2
2a 1 0
(3a 1)(a 1)
0
3
3
例:若函数 f (x)
kx 2
6kx
(k
8) 的定义域为 R,求实数 k 的取值范围
解: (1)
当 k
0 时, f ( x)
8
满足条件 .
(2)
当 k
0时, 则
k
0
0
k
1 .
综合 (1)(2)
得: k 的取值范围是
[0,1]
36k2
4k(k
8)
2
例 : 已知函数
y
lg[
x
2
(
a
1)
x a
2 ] 的定义域为
,求实数 a 的取值范围。
R
解:由题意得:不等式 x2
(a
1)x
a2
0对 x
R 恒成立,即有
(a 1) 2
4a2
0
,解得 a
1或 a
1
。
(1 ,
3
所以实数 a 的取值范围为 (
,
1)
)
3
例:若不等式 ax2
ax 1
0 的解集为 R , 求实数 a 的取值范围 .
解 :
(1)
当 a
0
时 ,
原不等式可化为
1
0
, 显然成立
(2)
当 a
0 , 则
a
0
, 得 4
a
0
综上 (1)(2) 得: a 的取值范围 (
4,0] .
a2
4a
0
例:已知关于
x 的不等式 ( m2
2m
3) x2
( m
3) x
1
0的解集为 R,
求实数 m 的取值范围 .
解 :(1)
若 2
2
3
0
,
则 m
3或 m
1 ,
当 m
3时,原不等式可化为
1
0 ,
显然成立 ;
m
m
当 m
1时,原不等式可化为
4x
1
0 , 显然不成立 . m 3
(2)
若
2
m2 -2m-3
0
,
综上 (1)(2)
得:
的取值范围
1
m
2
3
0
则
m
(
,3]
m
,
(m-3)2
4m2
- 2m-3
0
5
例 1、对于不等式 (1-m)x2+(m-1)x+30 ................ (*)
( 1)当 | x | ≤ 2, (*) 式恒成立,求实数 m的取值范围
( 2)当 | m | ≤ 2, (*) 式恒成立,求实数 x 的取值范围
解 (2) : 设 g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) ( m [-2,2] )
则 恒成立
;
阅读材料——含参不等式恒成立问题第
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页 ]
1
[ 阅读材料——含参不等式恒成立问题 ]
g(2)=-x2+x+30
* 若二次不等式中 x 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。 ( 如下例 )
例: 设 f ( x)
x 2
2mx
2 ,当 x
[
1,
) 时, f ( x) m 恒成立,求实数
m 的取值范围。
y
解:设 F ( x)
x 2
2mx
2
m ,则当 x
[ 1,
) 时, F (x) 0 恒成立
x
当4(m
1)(m
2)
0即
2
m
1时, F (x)
0 显然成立;
-1
Ox
当0 时,如图, F ( x) 0 恒成立的充要条件为:
0
解得 3 m
2。 综上可得实数 m 的取值范围为 [ 3,1) 。
F( 1)
0
2 m
1
2
二、 最值法: 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有:
( 1) f (x)
a恒成立
f x
a
( )min
(或 f (x)
( 2) f ( x)
a 恒成立
f (x)max
a(或 f (x)
注:
的下界 a )
的上界 a )
例: 已知 f ( x)
7x 2
28x
a, g (x)
2x3
4x 2
40 x ,当 x [
3,3] 时, f (x)
g( x) 恒成立,求实
数 a 的取值范围。
解:设 F ( x)
f (x)
g( x)
2x3
3x2
1
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