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新版高一数学必修第一册第四章全部教学设计 第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.1节《n次方根与分数指数幂》第１课时。从内容上看它是我们初中学过的乘方运算、开平方和开立方运算的延伸，本节以此为出发点，引出了开n次方根的概念，并将指数由整数推广到了分数。体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定基础。 课程目标 学科素养 1.理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念； 2. 理解根式与分数指数幂的互化；掌握有理数指数幂的运算性质； 3.培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养。 a.数学抽象：根式的概念； b.逻辑推理：根式与分数指数幂的互化； c.数学运算：根式的化简； d.直观想象：指数幂的运算法则； e.数学建模：将指数幂的运算性质推广到有理数的范围； 重点：根式的概念、分数指数幂的概念； 难点：根式与分数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质； 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 （一）、温故知新 1．思考辨析 (1)实数a的奇次方根只有一个．(　　) (2)当n∈N*时，(eq \r(n,－2))n＝－2.(　　) (3)eq \r(?π－4?2)＝π－4.(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2.eq \r(4,16)的运算结果是(　　) A．2 B．－2 C±2 D．±eq \r(2) A　[eq \r(4,16)＝eq \r(4,24)＝2.] 3．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　) Aeq \r(4,m2) B.eq \r(5,m) Ceq \r(6,m) D.eq \r(5,－m) C　[当m0时，eq \r(6,m)没有意义，其余各式均有意义．] 4．若x3＝－5，则x＝________. －eq \r(3,5)　[若x3＝－5，则x＝eq \r(3,－5)＝－eq \r(3,5).] （二）、探索新知 探究1 n次方根的概念问题 例1　(1)27的立方根是________；16的4次方根是________． (2)已知x6＝2 016，则x＝________. (3)若eq \r(4,x＋3)有意义，求实数x的取值范围为________. (1)3；±2　(2)±eq \r(6,2 016)　(3)[－3，＋∞]　 解析：(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2. (2)因为x6＝2 016，所以x＝±eq \r(6,2 016). (3)要使eq \r(4,x＋3)有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3. 所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)． [规律方法]　n次方根的个数及符号的确定 ?1.?n的奇偶性决定了n次方根的个数； ?2.?n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号. 跟踪训练1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子： ①eq \r(6,?－3?2n)；②eq \r(5,a2)；③eq \r(6,?－5?2n＋1)；④eq \r(9,－a2)，其中无意义的有(　　) A．1个　　　　B．2个 C 3个 D．0个 A　[①中(－3)2n0，所以eq \r(6,?－3?2n)有意义，②中根指数为5有意义，③中(－5)2n＋10，因此无意义，④中根指数为9，有意义．选A.] 探究2 利用根式的性质化简求值 例2 化简下列各式： (1)eq \r(5,?－2?5)＋(eq \r(5,?－2?))5； (2)eq \r(6,?－2?6)＋(eq \r(6,2))6； (3)eq \r(4,?x＋2?4)； [解]　(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4. (2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4. (3)原式＝|x＋2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥－2.,－x－2，x－2.)) 跟踪训练2．若eq \r(9a2－6a＋1)＝3a－1，求a的取值范围． [解]　∵eq \r(9a2－6a＋1)＝eq \r(?3a－1?2)＝|3a－1|， 由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥eq \f(1,3). 探究3 根式与分数指数幂的互化 (1)观察以下式子,并总结出规律:(a 0) 结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式. 2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗? ； ； 总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式. (3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗? 43的5次方根是 75的3次方根是 a2的3次方根是 结果表明: