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新版高一数学必修第一册第四章全部学案 第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 1.理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念； 2.掌握根式与分数指数幂的互化； 3.掌握有理数指数幂的运算性质； 重点 难点 根式的概念 根式的性质 分数指数幂的意义 指数幂的运算性质 分式与指数幂的意义 原式化简求值 1．根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*. (3)根式：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2．根式的性质(n1，且n∈N*) (1)n为奇数时，eq \r(n,an)＝ a . (2)n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a0.)) (3)eq \r(n,0)＝ 0 . (4)负数没有偶次方根． 思考：(1)(eq \r(n,a))n的含义是什么？ [提示]　(eq \r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂． (2)(eq \r(n,a))n中实数a的取值范围是任意实数吗？ [提示]　不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；当n为大于1的偶数时，a≥0. 自主小测； 1．思考辨析 (1)实数a的奇次方根只有一个．(　　) (2)当n∈N*时，(eq \r(n,－2))n＝－2.(　　) (3)eq \r(?π－4?2)＝π－4.(　　) 2.eq \r(4,16)的运算结果是(　　) A．2 B．－2 C±2 D．±eq \r(2) 3．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　) Aeq \r(4,m2) B.eq \r(5,m) Ceq \r(6,m) D.eq \r(5,－m) 4．若x3＝－5，则x＝________. 探究1 n次方根的概念问题 例1　(1)27的立方根是________；16的4次方根是________． (2)已知x6＝2 016，则x＝________. (3)若eq \r(4,x＋3)有意义，求实数x的取值范围为________. [规律方法]　n次方根的个数及符号的确定 1.?n的奇偶性决定了n次方根的个数； 2.?n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号. 跟踪训练1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子： ①eq \r(6,?－3?2n)；②eq \r(5,a2)；③eq \r(6,?－5?2n＋1)；④eq \r(9,－a2)，其中无意义的有(　　) A．1个　　　　B．2个 C 3个 D．0个 探究2 利用根式的性质化简求值 例2 化简下列各式： (1)eq \r(5,?－2?5)＋(eq \r(5,?－2?))5； (2)eq \r(6,?－2?6)＋(eq \r(6,2))6； (3)eq \r(4,?x＋2?4)； 跟踪训练2．若eq \r(9a2－6a＋1)＝3a－1，求a的取值范围． 探究3 根式与分数指数幂的互化 2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗? ； ； (1)观察以下式子,并总结出规律:(a 0) 结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式. 总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式. (3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗? 43的5次方根是 75的3次方根是 a2的3次方根是 结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的，综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义； 1.正数的正分数指数幂的意义： 2.正数的负分数指数幂的意义： 3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. 1．思考辨析 (1)0的任何指数幂都等于0.(　　) (2)5eq \s\up12(eq \f(2,3))＝eq \r(53).(　　) (3)分数指数幂与根式可以相互转化，如eq \r(4,a2)＝aeq \s\up12(eq \f(1,2)).(　　) 跟踪训练3.用根式表示下列各式:(a＞0) ， ， ， 2.用分数指数幂表示下列各式： ； ； ； [规律方法]　根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母， 被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 1．下列说法正确的个数是(　　) ①16的4次方根是2；②eq \r(4,16)的运算结果是