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等差数列教案教案
等差数列教案教案
PAGE
等差数列教案教案
2.2等差数列(一)教案
一、教学目标
1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题;
2.过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,归纳抽象出等差数列的概念;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题,进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中
二、教学重、难点
重点:理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式;
难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.
三、教学设想
创设情景:
上节课我们学习了数列.在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决.今天我们先学习一类特殊的数列.
探索研究:
由学生观察分析并得出答案:
(放投影片)1、在现实生活中,我们经常这样数数,从0开始,每隔5数一次,可以得到数列:0,5,____,____,____,____,……
2、2000年,在澳大利亚悉尼举行的奥运会上,女子举重被正式列为比赛项目.该项目共设置了7个级别.其中较轻的4个级别体重组成数列(单位:kg):48,53,58,63.
3、水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清理水库的杂鱼.如果一个水库的水位为18cm,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m.那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m):18,15.5,13,10.5,8,5.5
4、我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×寸期).例如,按活期存入10000元钱,年利率是0.72%.那么按照单利,5年内各年末的本利和分别是:
时间
年初本金(元)
年末本利和(元)
第1年
10000
10072
第2年
10000
10144
第3年
10000
10216
第4年
10000
10288
第5年
10000
10360
各年末的本利和(单位:元)组成了数列:10072,10144,10216,10288,10360.
思考:同学们观察一下上面的这四个数列:0,5,10,15,20,……①
48,53,58,63②
18,15.5,13,10.5,8,5.5③
10072,10144,10216,10288,10360④
看这些数列有什么共同特点呢?引导学生观察相邻两项间的关系.
由学生归纳和概括出,以上四个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点).
等差数列的概念:
等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.
这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.那么对于以上四组等差数列,它们的公差依次是5,5,-2.5,72.
注意:⑴公差d一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;
⑵对于数列{},若-=d(d是与n无关的数或字母),n≥2,n∈N,则此数列是等差数列,d为公差;
(3)若d=0,则该数列为常数列.
提问:(1)你能举一些生活中的等差数列的例子吗?
(2)如果在与中间插入一个数A,使,A,成等差数列数列,那么A应满足什么条件?
由学生回答:因为a,A,b组成了一个等差数列,那么由定义可以知道:
A-a=b-A
所以就有
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A叫做a与b的等差中项.
不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.
如数列:1,3,5,7,9,11,13…中,5是3和7的等差中项,1和9的等差中项.
9是7和11的等差中项,5和13的等差中项.
看来,
从而可得在一等差数列中,若m+n=p+q则
等差数列的通项公式:
提问:对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?
⑴、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的.下面由同学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式.
由学生经过分析写出通项公式:
①猜想得到这个数列的通项公式是
②猜想得到这个数列的通项公式是
③猜想得到这个数列的通项公式是
④猜想得到这个数列的通项公式是
⑵、那么,如果任意给了一个等差数列的首项和公差d,它的通项公式是什么呢?
引导学生根据等差数列的定义进行归纳:
(n-1)个等式
(n-1)个等式
…
所以
……
思考:那么通项公式到底如何表达呢?
得出通项公式
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