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等差数列知识点及类型题详解(含精细化答案)
等差数列知识点及类型题详解(含精细化答案)
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等差数列知识点及类型题详解(含精细化答案)
数列——等差数列
【考纲解读】
理解等差数列的概念。
掌握等差数列的通项公式及前项和公式。
能根据具体条件识别等差数列,并灵活运用等差数列的性质解决问题。
了解等差数列通项公式与一次函数、等差数列前项和与二次函数的关系。
【知识储备】
知识点1、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示。
知识点2、等差数列的通项公式
如果等差数列的首项是,公差是,则有(是常数)或,
叠加得到等差数列的通项为: 该公式整理后是关于的一次函数。
例1:已知是一个等差数列,请在下表中填入适当的数或式子。
-5
9
2
知识点3、等差中项
如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项即:或
例2:已知是等差数列。
有,那么是否成立
呢为什么
是否成立?
是否成立据此你能得出什么结论
知识点4、等差数列的前n项和
将带入可得
该公式整理后是关于的二次函数。
例3:根据下列各题中的条件,求相应的等差数列的前n项和。
(1)
(2)。
知识点5、等差数列的判定方法
定 义 法:若(d是常数)或,则数列是等差数列。
等 差 中项:若或,则数列是等差数列。
通项公式法:若通项公式为一次函数,则数列是等差数列,
且公差,首项。
前n项和法:若前项和,则数列是等差数列,
且公差,首项。
例4:已知数列的前项和,求这个数列的通项公式。
知识点6、等差数列的性质
等差数列任意两项间的关系:如果是等差数列的第项,是等差数列的第项,且,公差为,则有 ——该公式为等差数列的递推公式。
对于等差数列,若,则
也就是:
例5:已知是等差数列。有则 。
若数列是等差数列,是其前n项的和,,那么,,成等差数列。如下图所示:
等差数列的前项和的性质:
若项数为, 则,且,.
若项数为,则,且,
(其中,)。
例6:设是等差数列的前项和,若,则 。
【题型划归】
题型一、利用递推公式或求值。
例1、设数列的首项,则 。
万能解题模板:
【现炒现卖】
在数中,,,则的值为( )
A.49 B.50 C.51 D.52
题型二、利用等差中项求值。
例2、已知为等差数列,则等于( )
万能解题模板:
【现炒现卖】
等差数列的前三项依次为 ,,,则等于( )
题型三、利用等差数列性质,有求值。
例3、已知等差数列中,= 。
万能解题模板:
【现炒现卖】
若等差数列中,则= 。
题型四、已知其中几项的值,求公差、通项公式、前项和、及的最大(小)值等。
例4、等差数列的前项和为,若 。
万能解题模板:
【现炒现卖】
等差数列中,,,则= 。
题型五、已知前项和的值及后项和的值,求项数或者。
例5、在等差数列中,,,则 。
万能解题模板:
【现炒现卖】
等差数列中,已知,,则其前项和
= 。
题型六、已知,利用求通项公式。
例6、已知数列的前项和,求数列的通项公式。
万能解题模板:
【现炒现卖】
已知数列中,前项和。求证:数列是等差数列。
题型七、已知,,的关系,利用,,成等差数列求其中几个量。
例7、设为等差数列的前n项和,=14,,则= 。
万能解题模板:
【现炒现卖】
设等差数列的前项和为,若,,则 。
题型八、利用等差数列的前项和的性质: = 1 \* GB3 ①若项数为,则,且, = 2 \* GB3 ②若项数为,则,且,(其中,).
例8、设是等差数列的前项和,若,则( )
A. B. C. D.
万能解题模板:
【现炒现卖】
若等差数列共有项,且奇数项的和为44,偶数项的和为33,则项数为( )
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
课后强化巩固
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