立体几何线面垂直－题型全归纳（原卷版）.doc

PAGE PAGE 1 立体几何线面垂直-题型全归纳 题型一　利用等腰三角形“三线合一” 例题1、如图，在正三棱锥P-ABC中，E，F，G分别为线段PA，PB，BC的中点，证明：BC平面PAG。 解题步骤 （1）根据线段的中点，找出相应的等腰三角形； （2）格式“因为D是BC的中点，且AB=AC，所以ADBC”； （3）依据“三线合一”得到线线垂直。 变式训练1、已知四面体ABCD中，AB=AC，BD=CD，E为棱BC的中点，求证：ADBC 变式训练2、ACBP在三棱锥中，，，，． A C B P 求证： 变式训练3、如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＡ平面ＡＢＣＤ，底面ＡＢＣＤ是菱形，Ｅ为ＣＤ的中点，，求证：ＡＢ平面ＰＡＥ。 题型二　利用勾股定理逆定理 例题2、如图，在正方体中，为棱的中点，交于点，求证： 解题步骤 （1）根据题干给出的线段长度（没有长度的可以假设），标示在图形上，找出相应的三角形； （2）把线段的长度分别求平方，判断能否构成“”； （3）根据平方关系得到线线垂直。 变式训练1、如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形， _D_C_B_ _ D _ C _ B _ A _ P 变式训练2、已知正方形ABCD的边长为1，ＡＣＢＤ=Ｏ，将正方形ABCD沿对角线ＢＤ折起，使ＡＣ＝1，得到三棱锥Ａ-ＢＣＤ，如图所示，求证：ＡＯ平面ＢＣＤ 变式训练3、如图，四边形ABCD是直角梯形，AB＝2CD＝2PD＝2，PC＝，且有PD⊥AD，AD⊥CD，AB∥CD．证明：PD⊥平面ABCD 题型三　利用余弦定理 例题3、如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB为正三角形，O为△PAB的重心，PB⊥AC，∠ABC＝60°，BC＝2AB．求证：AC⊥平面PAB 解题步骤 （1）根据题干给出的线段长度，标示出在图形上； （2）若图形较复杂，可以把某个平面单独拆分出来研究； （3）利用相关平面几何知识，结合余弦定理求出未知线段的长度，再用勾股定理证明垂直。 变式训练1、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，CDAD，BC//AD，BC=CD=AD，求证：BD平面PAB。 变式训练2、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，并且BC＝2AD＝2AB，点P在平面ABCD内的投影恰为BD的中点M．证明：CD⊥平面PBD； 变式训练3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，ＡＤ=2，CD⊥PC， 求证：CD⊥平面PAC 题型四　利用面面垂直的性质定理 例题4、如图，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为DC的中点，现将沿AE折起，使平面DAE平面ABCE，连接DB，DC，BE，求证：BE平面ADE。 解题步骤 （1）若题干给出两个平面垂直，找出这两个平面的交线，还有平面内与交线垂直的直线； （2）格式“面垂直面，面与面相交得到线，线在平面内，线与交线垂直”； （3）写完整四个条件，即可证线与面垂直。 变式训练1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面PAB底面ABCD，。求证：PACD。 变式训练2、如图，点S是所在平面外一点，平面ABC，平面SAB平面SBC。求证：BC平面SAB。 变式训练3、在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形, 侧面PAD⊥底面ABCD.求证:DC平面PAD 题型五　利用线面垂直得到线线垂直 例题5、如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为AB，PB的中点，EB＝EA，且PA⊥AC，PC⊥BC． 求证：BC⊥平面PAC 解题步骤 （1）先利用题干给出的线与面垂直，得到线与线垂直； （2）若题干没有线与面垂直，则先证明一次线与面垂直，得到线与线垂直； （3）再根据线与线垂直证明题目要求证的线面垂直。 变式训练1、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，ADCD，求证：CD平面PAD。 变式训练2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC的中点，在平面B1BDD1中，过B1作B1H⊥D1O，垂足为H， 求证：B1H⊥平面ACD1。 变式训练3、如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点，.求证：MN⊥CD. 题型六 翻折问题 例题6、如图1，在中，，D，E分别是AC，AB上的点，且DE//BC，DE=4，将沿DE折起到的位置，使，如图2。求证：平面BCDE 解题步骤 （1）翻折问题关键是要搞清楚翻折前后图形中线段长度、角度、位置关系是否变化； （2）翻折前是平面图形，翻折后是立体图形，在立体图上标出数量关系与位置关系； （3）再利用前面所学习过的方法技巧解题。 变式训练1、如图1，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，E为DC中点，将沿AC折起到的位置，如图2。求证： 变式训练2、如图1，在