专题7.23 数列大题（讨论奇、偶2）-2022届高三数学一轮复习精讲精练（Word含答案）.docVIP

专题7.23 数列大题（讨论奇、偶 1．已知数列满足， （1）求，，，并求； （2）求的前100项和． 解：（1），，． 当时，由题意，得，． 于是，即． 所以，是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以， 即为奇数时，． 当为偶数时，． 所以，； （2）法 ； 法2：由（1），当时，，． 令，则． ． 2．已知数列满足，． （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前10项和． 解：（1）设为偶数，为奇数， 则，， ， 即， 且， 是以3为首项，3为公差的等差数列， ，，． （2）当为奇数时，， 的前10项和为， 由（1）可知，， 的前10项和为． 3．给出以下两个条件：①数列的首项，，且，②数列的首项，且．从上面①②两个条件中任选一个解答下面的问题． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 解：（1）若选条件①，由，得， 两式相减，得， 数列，均为公差为4的等差数列， ，，，， 为奇数时，， 为偶数时，， 综上，； 若选条件②，由， 得， 时，， 又时，，符合上式通项， ； （2）由（1）得， ，， 两式相减，得， 4．已知等差数列满足，，为等比数列的前项和，． （1）求，的通项公式； （2）设，证明：． 解：（1）设公差为，公比为， 由，，得，， 得，，； ， 时，，， 又为等比数列，， ，又， ， ，； （2）证明：由题意，，记的前项和为， 当时， ， 记，， 则， ， 化简得，， ， ， ， 即成立； 当时， ， 即成立， 得证． 5．已知数列中，，． （1）求证：数列是常数数列； （2）令为数列的前项和，求使得的的最小值． 证明：（1）数列中，，， 整理得，故数列是常数数列． 解：（2）由于， 所以， 整理得．所以． 当为奇数时：． 当为偶数时：， 所以，整理得， 故的最小值为67． 6．已知等差数列满足，，为等比数列的前项和，． （1）求，的通项公式； （2）设，证明：． 解：（1）设公差为，公比为， 由，，得，， 得，，； ， 时，，， 又为等比数列，， ，又， ， ，； （2）证明：由题意，，记的前项和为， 当时， ， 记，， 则， ， 化简得，， ， ， ， 即成立； 当时， ， 即成立， 得证．