立体几何线面垂直－题型全归纳（解析版）.doc

PAGE PAGE 1 立体几何线面垂直-题型全归纳 题型一　利用等腰三角形“三线合一” 例题1、如图，在正三棱锥P-ABC中，E，F，G分别为线段PA，PB，BC的中点，证明：BC平面PAG。 证明：在正三棱锥P-ABC中， ＡＢ＝ＡＣ，Ｇ是ＢＣ的中点， ＡＧＢＣ， 又ＰＢ＝ＰＣ，Ｇ是ＢＣ的中点， ＰＧＢＣ， ＰＧＡＧ＝Ｇ， ＰＧ，ＡＧ平面ＰＡＧ， ＢＣ平面ＰＡＧ， 解题步骤 （1）根据线段的中点，找出相应的等腰三角形； （2）格式“因为D是BC的中点，且AB=AC，所以ADBC”； （3）依据“三线合一”得到线线垂直。 变式训练1、已知四面体ABCD中，AB=AC，BD=CD，E为棱BC的中点，求证：ADBC 证明：连接ＤＥ， ＡＢ＝ＡＣ，Ｅ是ＢＣ的中点， ＡＥＢＣ， 又ＢＤ＝ＣＤ，Ｅ是ＢＣ的中点， ＤＥＢＣ， ＡＥＤＥ＝Ｅ， ＡＥ，ＤＥ平面ＡＤＥ， ＢＣ平面ＡＤＥ， ＡＤ平面ＡＤＥ， ＡＤＢＣ 变式训练2、ACBP在三棱锥中，，，，． A C B P 求证： 证明：取ＡＢ的中点Ｏ，连接ＯＰ，ＯＣ， ＡＰ＝ＢＰ，Ｏ是ＡＢ的中点， ＰＥＡＢ， 又ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ是ＡＢ的中点， ＯＣＡＢ， ＰＯＣＯ＝Ｏ， ＰＯ，ＣＯ平面ＰＯＣ， ＡＢ平面ＰＯＣ， ＰＣ平面ＰＯＣ， ＡＢＰＣ。 变式训练3、如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＡ平面ＡＢＣＤ，底面ＡＢＣＤ是菱形，Ｅ为ＣＤ的中点，，求证：ＡＢ平面ＰＡＥ。 证明：底面ＡＢＣＤ是菱形， ， ＡＥＣＤ， 又ＡＢ//ＣＤ， ＡＢＡＥ， 又ＰＡ平面ＡＢＣＤ， ＡＢ平面ＡＢＣＤ， ＡＢＰＡ， ＡＰＡＥ＝Ａ， ＡＰ，ＡＥ平面ＰＡＥ， ＡＢ平面ＰＡＥ。 题型二　利用勾股定理逆定理 例题2、如图，在正方体中，为棱的中点，交于点，求证： 证明：连接ＯＭ，，， 设正方体的棱长为2，则 　　　　　 即：ＯＭ 又在正方体中， ＢＤ ＯＭ，ＢＤ平面ＢＤＭ， 解题步骤 （1）根据题干给出的线段长度（没有长度的可以假设），标示在图形上，找出相应的三角形； （2）把线段的长度分别求平方，判断能否构成“”； （3）根据平方关系得到线线垂直。 变式训练1、如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形， _D_C_B_ _ D _ C _ B _ A _ P 证明：，，， 即：ＰＡＡＤ， 又ＰＡＣＤ， ＡＤ，ＣＤ平面ＡＢＣＤ， ＰＡ平面ＡＢＣＤ。 变式训练2、已知正方形ABCD的边长为1，ＡＣＢＤ=Ｏ，将正方形ABCD沿对角线ＢＤ折起，使ＡＣ＝1，得到三棱锥Ａ-ＢＣＤ，如图所示，求证：ＡＯ平面ＢＣＤ 证明：正方形ＡＢＣＤ沿对角线ＢＤ折起， ＡＯＢＤ， 又正方形ＡＢＣＤ的边长为1， ，， ＡＯＯＣ ＡＯ，ＣＯ平面ＢＣＤ， ＡＯ平面ＢＣＤ。 变式训练3、如图，四边形ABCD是直角梯形，AB＝2CD＝2PD＝2，PC＝，且有PD⊥AD，AD⊥CD，AB∥CD．证明：PD⊥平面ABCD 证明：，，， 即：ＰＤＤＣ 又ＰＤＡＤ ＣＤ，ＡＤ平面ＰＣＤ ＰＤ平面ＡＢＣＤ。 题型三　利用余弦定理 例题3、如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB为正三角形，O为△PAB的重心，PB⊥AC，∠ABC＝60°，BC＝2AB．求证：AC⊥平面PAB 证明：在△ＡＢＣ中，设ＡＢ＝１，则ＢＣ＝２， 由余弦定理得， ， ，，又PB⊥AC， ＰＢＡＢ＝Ｂ，ＰＢ，ＡＢ平面ＰＡＢ， AC⊥平面PAB 解题步骤 （1）根据题干给出的线段长度，标示出在图形上； （2）若图形较复杂，可以把某个平面单独拆分出来研究； （3）利用相关平面几何知识，结合余弦定理求出未知线段的长度，再用勾股定理证明垂直。 变式训练1、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，CDAD，BC//AD，BC=CD=AD，求证：BD平面PAB。 证明：设ＢＣ＝ＣＤ＝１，则ＡＤ＝２ ＢＣ//ＡＤ，ＣＤＡＤ， ＢＣＣＤ 又ＢＣ＝ＣＤ， ＢＤＣ＝，ＢＤ＝， ＡＤＢ＝ 在△ＡＢＤ中，由余弦定理得 ，即ＢＤＡＢ， 又ＰＡ平面ＡＢＣＤ，ＢＤ平面ＡＢＣＤ， ＢＤＰＡ ＰＡＡＢ＝Ｂ， ＡＰ，ＡＢ平面ＡＢＣＤ， ＢＤ平面ＡＢＣＤ。 变式训练2、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，并且BC＝2AD＝2AB，点P在平面ABCD内的投影恰为BD的中点M．证明：CD⊥平面PBD； 证明：设ＡＢ＝ＡＤ＝１，则ＢＣ＝２， ＡＤＡＢ，ＡＢＤ＝， ＢＤ＝，ＣＢＤ＝， 在△ＢＣＤ中，由余弦定理得： ，即ＢＤＣＤ， 又ＰＭ平面ＡＢＣＤ，ＣＤ平面ＡＢＣＤ， ＣＤＰＭ ＰＭＤＢ＝Ｍ， ＰＭ，ＤＢ平面ＰＢＤ， ＣＤ平面ＰＢＤ。 变式训练3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，ＡＤ=2，CD⊥PC， 求证：CD⊥平面PAC 证明：ＡＢＢＣ，ＡＢ＝ＢＣ＝１， ＡＣ＝，ＣＡＤ＝ 在△Ａ