数值解法课件.ppt

数值解法——有限差分法 原理：将实际上连续的物理过程在时间和空间 上离散化，分成有限数量的差分量（?x、?y、 ?z、??），并假设这些差分量已经足够小，以 致在差分量范围内物体的性能和物理过程都是 均匀一致的，而只是在差分量之间发生阶跃性 的变化。 即用阶梯变化的差分方程代替连续变化的 微分方程进行求解。 * 以二维温度场为例： 导热微分方程： 二维稳定导热： 改用差分方程： x y Z(无限长) ?x ?x ?x ?x ?x ?x ?y ?y ?y ?y ?y ? (i,j) ? (i+1,j) ? (i-1,j) ? (i,j+1) ? (i,j-1) x方向分成m格，y方向分成n格 则共有(m-1)(n-1)个节点 任意点温度：ti,j * 节点（i,j）及其相邻的各节点，在x、y方 向上的温度梯度及其二次导数，可近似表达为 下列差分式（以x方向为例）： * 同理： 代入微分方程，即可求得 节点（i,j）的温度。 * 若取正方形网格，?x=?y，则有： (1) 节点温度： (2) 对流边界节点方程： 同理可推得： ?x ?y ?y ? i 1 2 3 * (4) 对流边界内部拐角节点方程： ? 1 ?x ?y ?y 2 3 4 i ?x ?y ?y ? i 1 2 3 绝 热 (5) 绝热边界节点方程： 1 2 ? i ?x ?y (3) 对流边界外部拐角节点方程： * 数值解法一般步骤： 把未知温度场分成均匀的网格——区域离散 法，正方形网格形式，取节点； (2) 每个节点按行、列统一编号； (3) 根据差分方程写出各节点的温度方程，组成 一个线性方程组； (4) 求解方程组，得到各节点的温度及其随时间 的变化规律： * [例] (i,j+1) (i,j) (i+1,j) (i-1,j) (i,j-1) j ? ? ? ? ? ? Ci Qi,j 也可以根据能量平衡建立各节点的能量平 衡方程式 稳定时： 不稳定时： (焓增量) * * *