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高二数学立体几何专题资料:空间的垂直关系与平行关系
高二数学立体几何专题资料:空间的垂直关系与平行关系
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高二数学立体几何专题资料:空间的垂直关系与平行关系
空间的垂直关系
[基础要点]
一、直线与平面垂直
1.定义:若一条直线和一个平面内的 ,则称这条直线和平面互相垂直
2.判定方法:
(1)定义: (2)判定定理:
(3)其他方法:
; ;
3.性质定理:
二、两个平面垂直
1.定义:两个平面相交,若 ,则称这两个平面垂直
2.判定定理:
3.性质定理: ;
三、三垂线定理及逆定理
图形
三垂线定理
逆定理
文字语言
符号语言
题型一、线线垂直的问题
例1、已知ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,AE⊥PB于E,EF⊥PC于F
(1)求证:AF⊥PC (2)设平面AEF交PD于G,求证:AG⊥PD
变式:已知,PA⊥,PB⊥垂足分别为A、B,又AQ⊥,垂足为Q,连结BQ,求证:BQ⊥
题型二、线面垂直的问题
例2、某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示,墩的上半部分
是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.
证明:直线平面.
变式:如图示,已知V是△ABC所在平面外一点,VN垂直于平面ABC,且垂足N在△ABC的高CD上,M是VC上的一点,
求证:VC⊥平面AMB
题型三、面面垂直问题
例3、如图,四棱锥的底面是正方形,,点E在棱PB上,求证:平面;
变式:△ABC是正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CD,CE=CA=2BD,M是EA的中点,
(1)求证:DE=DA (2)面BDM⊥面ECA (3)面DEA ⊥面ECA
题型四、垂直问题的转化
例4、如图,平面⊥平面,为正方形,,
求证:平面;
变式:如图示,在斜边为AB的△ABC中,过A作PA⊥平面ABC,AM⊥PB于M,AN⊥PC于N
(1)求证:BC⊥面PAC (2)求证:PB⊥面AMN
(3)设PA=AB=4,设∠BPC=,试用表示△AMN的面积,当取何值时,△AMN的面积最大最大面积是多少
[自测训练]
AUTONUM 、已知表示平面,表示直线,下列命题中正确的是( )
A、若,则 B、若,则
C、若,则 D、若,则
AUTONUM 、已知直线与平面,给出下列三个命题:
①若,则 ②若,则
③若,则 其中真命题的个数是( )
A、0 B、1 C、2 D、3
AUTONUM 、如图示,在正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,现在沿DE、DF把△ADE、△CDF、△BEF折起,使A、B、C三点重合,重合后的点记为P,那么在四面体P-DEF中,必有( )
A、DM⊥面PEF B、PM⊥面DEF C、面PDE⊥面PEF D、面PDE⊥面DEF
AUTONUM 、直线不垂直于平面,则内与垂直的直线有( )
A、0条 B、1条 C、无数条 D、内所有直线
AUTONUM 、点P是△ABC所在平面外一点,且到三边的距离相等,点O是P在平面ABC内的射影,且点O在三角形内,那么点O是△ABC的( )
A、垂心 B、内心 C、外心 D、重心
AUTONUM 、已知是不重合的两条直线,是不重合的两个平面,有下列命题:
①若,则 ②若,则
③若,则且 ④若,且,则
其中真命题的个数是( )
A、4 B、3 C、2 D、1
AUTONUM 、如图,为正方体的中心,△在该正方体各个面上的射影可能是( )
A、(1)、(2)、(3)、(4) B、(1)、(3) C、(1)、(4) D、(2)、(4)
AUTONUM 、对于四面体ABCD,给出下列四个命题:
①若,则 ②若,则
③若,则 ④若,则
其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号)
AUTONUM 、在平面几何里,有勾股定理:“设三角形ABC的两边AB、AC互相垂直,则”,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系,可以得出正确结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直,则
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