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第 第 PAGE 12 页 共 NUMPAGES 12 页 1991考研数学一真题及答案解析(1) 1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题  一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)  (1) 设21,cos ,  x t y t ?=+?=? 则22d y dx =__________.  (2)  由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分    dz =__________.  (3) 已知两条直线的方程是1123:  101x y z L ==-；221:211  x y z  L +-==,则过1L 且平  行于2L 的平面方程是__________.  (4) 已知当0x →时,123  (1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.  (5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ?? ?  ?= ?- ???  ,则A 的逆阵1A -=__________.  二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2  2  11x x e y e  --+=  - ( )  (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线  (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数f x 满足关系式20  ln 22x  t f x f dt ??  =  + ???  ?  ,则f x 等于 ( ) (A) ln 2x  e (B) 2ln 2x  e  (C) ln 2x  e + (D) 2ln 2x  e +  (3) 已知级数  1  1  (1)  2n n n a ∞  -=-=∑,211  5n n a ∞-==∑,则级数1  n n a ∞  =∑等于 ( )  (A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9  (4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象  限的部分,则  (cos sin )D  xy x y dxdy +??等于 ( )  (A) 1  2  cos sin D x ydxdy ?? (B) 1  2D xydxdy ??  (C) 1  4  (cos sin )D xy x y dxdy +?? (D) 0  (5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =  (C) BAC E = (D) BCA E =  三、(本题满分15分,每小题5分.)  (1) 求0  )x x π  +  →. (2) 设n 是曲面222  236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数    u =  P 处沿方向n 的方向导数. (3) 2  2  x y z dV Ω  ++???,其中Ω是由曲线22,  0y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面  4z =所围成的立体.   四、(本题满分6分)  在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =中,求一条曲线L ,使沿该曲线从  O 到A 的积分3(1)(2)L  y dx x y dy +++?的值最小.   五、(本题满分8分.)  将函数2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数  21  1  n n ∞  =∑的和.  六、(本题满分7分.)  设函数f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1  23  3  (0)f x dx f =?  ,证明在(0,1)内存在  一点c ,使0f c =.  七、(本题满分8分.)