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第 第 PAGE 12 页 共 NUMPAGES 12 页 1993考研数学一真题及答案解析 1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题  一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)  函数1  (2(0)x  F x dt x =  ?   的单调减少区间为______________. (2) 由曲线223212,   x y z ?+=?=?绕y  轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧    的单位法向量为______________.  (3) 设函数2  f x x x x πππ=+-,证明b a  a b .  七、(本题满分8分)  已知二次型222  ,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++,通过正交变换化成标准形  222  12325f y y y =++,求参数a 及所用的正交变换矩阵.   八、(本题满分6分)  设A 是n m ?矩阵,B 是m n ?矩阵,其中n m ,所以当x →+∞时,xf ξ→+∞,故f x →+∞.  由(0)0f ,故原不等式等价于ln ln b a a b 或  ln ln a b  a b   . 证法一：令ln ln ,f x x a a x x a e =- ,则 ln a  f x a x  =-.  因为x a e ,所以ln 1,1a a x ,即 b  a  a b . 证法二：令ln x f x x e x =  ,则 2  1ln x  f x x -=  . 当(,)x e ∈+∞时,0f x 使得  ln ln b a  f b f a b a  =  .  七、(本题满分8分)  【解析】写出二次型f 的矩阵为2000303A a a ?? ?  = ? ???  ,它的特征方程是  222  00  ||03  (2)(69)00  3  E A a a a  λλλλλλλ--=  --=--+-=--.  f 经正交变换化成标准形222  12325f y y y =++,那么标准形中平方项的系数1,2,5就是A 的  特征值.  把1λ=代入特性方程,得2  40a -=2a ?=±.  因0a 知2a =.这时 200032023A ?? ?  = ? ???  .  对于11λ=,由0E A x -=, 100100022011022000-???? ? ?--→ ? ? ? ?--????,得 1(0,11)T  X =-.  对于22λ=,由(2)0E A x -=,000012012003021000???? ? ?--→ ? ? ? ?--????,得2(1,0,0)T  X =.  对于35λ=,由(5)0E A x -=,300300022011022000???? ? ?-→- ? ? ? ?-????  ,得3(0,1,1)T  X =.  将123,,X X X 单位化,得   1230101,0,1101γγγ??????? ??===? ??? ??  -????    . 故所用的正交变换矩阵为     123010(,,)00  P γγγ?  ?  ? ? ==  ?    . 【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二  次的多项式)  1211  ,,  ,,n n  n ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 其中ij ji a a =,  称为n 元二次型.令12,,  ,T  n x x x x =,ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为  12,,,,T n f x x x x Ax =  其中A 是对