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1993考研数学一真题及答案解析
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 函数1 (2(0)x F x dt x = ? 的单调减少区间为______________. (2) 由曲线223212, x y z ?+=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧 的单位法向量为______________. (3) 设函数2 f x x x x πππ=+-,证明b a a b . 七、(本题满分8分) 已知二次型222 ,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++,通过正交变换化成标准形 222 12325f y y y =++,求参数a 及所用的正交变换矩阵. 八、(本题满分6分) 设A 是n m ?矩阵,B 是m n ?矩阵,其中n m ,所以当x →+∞时,xf ξ→+∞,故f x →+∞. 由(0)0f ,故原不等式等价于ln ln b a a b 或 ln ln a b a b . 证法一:令ln ln ,f x x a a x x a e =- ,则 ln a f x a x =-. 因为x a e ,所以ln 1,1a a x ,即 b a a b . 证法二:令ln x f x x e x = ,则 2 1ln x f x x -= . 当(,)x e ∈+∞时,0f x 使得 ln ln b a f b f a b a = . 七、(本题满分8分) 【解析】写出二次型f 的矩阵为2000303A a a ?? ? = ? ??? ,它的特征方程是 222 00 ||03 (2)(69)00 3 E A a a a λλλλλλλ--= --=--+-=--. f 经正交变换化成标准形222 12325f y y y =++,那么标准形中平方项的系数1,2,5就是A 的 特征值. 把1λ=代入特性方程,得2 40a -=2a ?=±. 因0a 知2a =.这时 200032023A ?? ? = ? ??? . 对于11λ=,由0E A x -=, 100100022011022000-???? ? ?--→ ? ? ? ?--????,得 1(0,11)T X =-. 对于22λ=,由(2)0E A x -=,000012012003021000???? ? ?--→ ? ? ? ?--????,得2(1,0,0)T X =. 对于35λ=,由(5)0E A x -=,300300022011022000???? ? ?-→- ? ? ? ?-???? ,得3(0,1,1)T X =. 将123,,X X X 单位化,得 1230101,0,1101γγγ??????? ??===? ??? ?? -???? . 故所用的正交变换矩阵为 123010(,,)00 P γγγ? ? ? ? == ? . 【相关知识点】二次型的定义:含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二 次的多项式) 1211 ,, ,,n n n ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 其中ij ji a a =, 称为n 元二次型.令12,, ,T n x x x x =,ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为 12,,,,T n f x x x x Ax = 其中A 是对
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