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1989考研数学一真题及答案解析
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 已知(3)2f =,则 0 (3)(3) lim 2h f h f h →--=_______. (2) 设f x 是连续函数,且1 2 f x x f t dt =+? ,则f x =_______. (3) 设平面曲线L 为下半圆周y =则曲线积分 22L x y ds +=? _______. (4) 向量场2 2 (,,)ln(1)z u x y z xy i ye j x z k =+++在点(1,1,0)P 处的散度divu =_______. (5) 设矩阵300140003A ?? ?= ? ???, 100010001E ?? ?= ? ??? ,则逆矩阵1 (2)A E --=_______. 二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 当0x 时,曲线1 sin y x x = ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2) 已知曲面2 2 4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=,则点P 的 坐标是 ( ) (A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2) (C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2) (3) 设线性无关的函数1y 、2y 、3y 都是二阶非齐次线性方程y p x y q x y f x ++=的 解,1C 、2C 是任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( ) (A) 11223C y C y y ++ (B) 1122123C y C y C C y +-+ (C) 1122123(1)C y C y C C y + (D) 1122123(1)C y C y C C y ++-- (4) 设函数2 ,01,f x x x =≤上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大? 十、填空题(本题满分6分,每小题2分.) (1) 已知随机事件A 的概率P A =0.5,随机事件B 的概率P B =0.6及条件概率 P B A |=0.8,则和事件A B U 的概率P A B U =_______. (2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中, 则它是甲射中的概率为_______. (3) 若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程2 10x x ξ++=有实根的概率是______. 十一、(本题满分6分.) 设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差),而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数. 1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】1- 【解析】原式=01(3)(3)1lim (3)122 h f h f f h -→---=-=--. (2)【答案】1x - 【解析】由定积分的性质可知, 1 f t dt ? 和变量没有关系,且f x 是连续函数,故 1 f t dt ? 为一常数,为简化计算和防止混淆,令10 f t dt a =?,则有恒等式2f x x a =+, 两边0到1积分得 1 1 (2)f x dx x a dx =+? ?, 即 []1 1 1 1 1200000 1(2)222a x a dx xdx a dx x a x ?? =+=+=+???????122a =+, 解之得 1 2 a =- ,因此21f x x a x =+=-
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