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1991考研数学一真题及答案解析
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 设21,cos , x t y t ?=+?=? 则22d y dx =__________. (2) 由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分 dz =__________. (3) 已知两条直线的方程是1123: 101x y z L ==-;221:211 x y z L +-==,则过1L 且平 行于2L 的平面方程是__________. (4) 已知当0x →时,123 (1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________. (5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ?? ? ?= ?- ??? ,则A 的逆阵1A -=__________. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2 2 11x x e y e --+= - ( ) (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数f x 满足关系式20 ln 22x t f x f dt ?? = + ??? ? ,则f x 等于 ( ) (A) ln 2x e (B) 2ln 2x e (C) ln 2x e + (D) 2ln 2x e + (3) 已知级数 1 1 (1) 2n n n a ∞ -=-=∑,211 5n n a ∞-==∑,则级数1 n n a ∞ =∑等于 ( ) (A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象 限的部分,则 (cos sin )D xy x y dxdy +??等于 ( ) (A) 1 2 cos sin D x ydxdy ?? (B) 1 2D xydxdy ?? (C) 1 4 (cos sin )D xy x y dxdy +?? (D) 0 (5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E = (C) BAC E = (D) BCA E = 三、(本题满分15分,每小题5分.) (1) 求0 )x x π + →. (2) 设n 是曲面222 236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数 u = P 处沿方向n 的方向导数. (3) 2 2 x y z dV Ω ++???,其中Ω是由曲线22, 0y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面 4z =所围成的立体. 四、(本题满分6分) 在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =中,求一条曲线L ,使沿该曲线从 O 到A 的积分3(1)(2)L y dx x y dy +++?的值最小. 五、(本题满分8分.) 将函数2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数 21 1 n n ∞ =∑的和. 六、(本题满分7分.) 设函数f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1 23 3 (0)f x dx f =? ,证明在(0,1)内存在 一点c ,使0f c =. 七、(本题满分8分.) 已知
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