《点到直线的距离公式》教案、导学案、同步练习.docx

《2.3.3 点到直线的距离公式》教案 【教材分析】 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习点到直线的距离公式。 在前面已经研究了两点间的距离公式、直线方程、两直线的位置关系，同时也介绍了 “以数论形，以形辅数”的数学思想方法． “点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算；《点到直线的距离》的研究，又为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用． 【教学目标与核心素养】 课程目标 学科素养 A. 会用向量工具推导点到直线的距离公式. B.掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题. C. 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力 1.数学抽象：点到直线的距离公式 2.逻辑推理：点到直线的距离公式的推导 3.数学运算：点到直线的距离公式的运用 4.直观想象：几何中的距离问题 【教学重点】：点到直线的距离公式的推导思路分析；点到直线的距离公式的应用． 【教学难点】：点到直线的距离公式的推导不同方法的思路分析． 【教学过程】 教学过程 教学设计意图 一、情境导学 在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短? 二、探究新知 思考：最容易想到的方法是什么？ 思路①. 定义法,其步骤为：①求l 的垂线l PQ的方程；② 解方程组；③得交点Q的坐标；④求|P Q|的长 反思：这种解法的优缺点是什么？ 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？ 如图，点P到直线l的距离，就是向量PQ的模，设M(x,y)是直线l上的任意一点， n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则PQ是PM在上n的投影向量, PQ=PM? 思考：如何利用直线l的方程得到与的方向向量垂直的单位向量n? 设P1x1,y1,P2（x2,y2）直线l：Ax+By+C=0?上的任意两点，则P1P2=(x 从而PM?n=(x-x0,y?-y 因为点M(x,y)在直线l上所以Ax+By+C=0代入上式， 得PM?n=1 因此PQ=PM 思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？ 1.点到直线的距离 (1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度. (2)图示: (3)公式:d=|A 点睛： (1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式. (2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用. 1.判断对错：点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为|kx0+b 答案:× 2.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是(　　) A.12　　　　　B.32　　　　　C.32 答案:C 解析:由点到直线的距离公式可得|1 3.你能说出代数式|3 提示:该代数式可表示平面内点(a,b)到直线3x+y+1=0的距离. 三、典例解析 例1、求点P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,4)；(2)y＝6；(3)x＝4. [解]　(1)直线y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,4)化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得 d＝eq \f(|3×3－4×?－2?＋1|,\r(32＋?－4?2))＝eq \f(18,5). (2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1. 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 跟踪训练1 已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等, 求直线l的方程. 解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1, 恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等, 故x=-1满足题意; 当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时, 设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0, 由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离