《空间向量及其运算的坐标表示》教案、导学案、同步练习.docx

《1.3 空间向量及其运算的坐标表示》教案 【教材分析】 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习空间向量及其运算的坐标表示。 通过类比平面向量及其运算的坐标表示，从而引入空间向量及其运算的坐标表示，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间，在学生学习了空间向量的几何形式和运算，以及在空间向量基本定理的基础上进一步学习空间向量的坐标运算及其规律，是平面向量的坐标运算在空间推广和拓展，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定了知识和方法基础。 【教学目标与核心素养】 课程目标 学科素养 A. 了解空间直角坐标系理解空间向量的坐标表示 B.掌握空间向量运算的坐标表示 C.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用 D.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题 1.数学抽象： 空间向量运算的坐标表示 2.逻辑推理：空间向量垂直与平行的坐标表示及应用； 3.数学运算：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题； 【教学重点】：理解空间向量的坐标表示及其运算 【教学难点】：运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题 【教学过程】 教学过程 教学设计意图 一、情境导学 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法…….” 吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算. 二、探究新知 一、空间直角坐标系与坐标表示 1.空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底i,j,k,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz 1.画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三个坐标平面把空间分成八个部分. 2.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的都是右手直角坐标系. 2.点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=xi+yj+zk.在单位正交基底i,j,k下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z 3.向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作OA=a由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作a=(x,y,z 小试牛刀 1.若a=3i+2j-k,且{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为　　　　.? (3,2,-1) 答案:向量OP的坐标恰好是终点P的坐标,这就实现了空间基底到空间坐标系的转换. 思考：在空间直角坐标系中,向量OP的坐标与终点P的坐标有何关系? 二、空间向量运算的坐标表示 1.空间向量的坐标运算法则 设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a+b 　　　　　　　　　? 减法 a-b 　　　　　　　　　? 数乘 λa 　　　　　　　　　? 数量积 a·b 　　　　　　　　　? (a1+b1,a2+b2,a3+b3) ;(a1-b1,a2-b2,a3-b3)　 ;(λa1,λa2,λa3)　 ;a1b1+a2b2+a3b3 2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系: 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示 若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 (1)当b≠0时,a∥b?a=λb?　　 　　　　　　(λ∈R);? (2)a⊥b?　　　　　?　　　　　　　　　　.? a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3