《双曲线及其标准方程》教案、导学案、同步练习.docx

《3.2.1双曲线及其标准方程》教案 【教材分析】 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习双曲线及其标准方程 学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用。 从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。 【教学目标与核心素养】 课程目标 学科素养 A.掌握双曲线的标准方程及其求法. B.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题. C.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分. 1.数学抽象：双曲线的定义 2.逻辑推理：运用定义推导双曲线的标准方程 3.数学运算：双曲线标准方程的求法 4.数学建模：运用双曲线解法实际问题 5.直观想象：双曲线及其标准方程 【教学重点】：用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题. 【教学难点】：双曲线的标准方程及其求法. 【教学过程】 教学过程 教学设计意图 一、情景导学 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。 我们知道，平面内与两个定点F1，F 1.双曲线的定义 从椭圆的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出双曲线的标准方程。 以F1,F2所在直线为x?轴，线段F1 此时双曲线的焦点分别为F1（ 设Px,y PF1 因为PF1 所以(x+c)2+ 由①得(x+c)2+y 整理得(x+c)2+ 且②与①右边同时取正号或负号，①+ ②整理得 (x+c)2+y2 =± 将③式平方再整理得c2-a2a 因为ca0 ，所以c2 设c2-a 且b0,则④可化为 x2a2-y 设双曲线的焦点为 F1和F PF1-PF2=2a,其中ca0 ，以F 2.双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 (a0,b0) (a0,b0) 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c的关系 b2=c2-a2 双曲线与椭圆的比较 ? 椭圆 双曲线 定义 |MF1|+|MF2|=2a (2a|F1F2|) ||MF1|-|MF2||=2a (02a|F1F2|) a,b,c的关系 b2=a2-c2 b2=c2-a2 焦点在 x轴上 焦点在 y轴上 1.在双曲线的定义中,若去掉条件02a|F1F2|,则点的轨迹是怎样的? 提示:①当2a等于|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点). ②当2a大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在. ③当2a等于零时,动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 2.判断 (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(　　) (2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于5的点的轨迹是双曲线.(　　) (3)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)× 3.过点(1,1),且ba=2 A.x212-y2=1 B.y2 C.x2-y212=1 D.x212-y2= 解析:∵ba=2,∴b2=2 当焦点在x轴上时,设双曲线方程为x2a 将点(1,1)代入方程中,得a2=12 此时双曲线的标准方程为x212-y2=1.同理求得焦点在y轴上时,双曲线的标准方程为y212 二、典例解析 例1求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在x轴上,a=25,经过点A(-5,2); (2)经过两点A(-7,-62),B(27,3). 分析(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),代入点的坐标,解方程即可得到.(2)可设双曲线方程为 解:(1)设双曲线方程为x2a2-y2b 则a=25,25a2-4b2=1,解得 (2)设双曲线方程为mx2-ny2=1, 则有49m-72n=1,28 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标