《倾斜角与斜率》教案、导学案、同步练习.docx

《2.1.1　倾斜角与斜率》教案 【教材分析】 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线倾斜角与斜率。 直线的倾斜角与斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发，引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定，是今后学习直线方程的必备知识。它不仅在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用，而且通过本节课的学习，能够培养学生观察、分析、猜想、抽象概括等数学基本思维方法，并初步体会坐标法的思想。 【教学目标与核心素养】 课程目标 学科素养 A.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. B.理解直线的倾斜角和斜率的概念. C.掌握倾斜角和斜率之间的关系. D.掌握过两点的直线斜率的计算公式. 1.数学抽象：直线倾斜角与斜率的概念 2.逻辑推理：倾斜角与斜率的关系； 3.数学运算：直线斜率的计算. 4.直观想象：直线的倾斜角 【教学重点】：理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系 【教学难点】：过两点的直线斜率的计算公式. 【教学过程】 教学过程 教学设计意图 一、情境导学 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k=上升高度水平距离=DBAD.k 二、探究新知 　一、直线的倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时,规定直线l的倾斜角为0° 记法 α 图示 范围 0°≤α180° 作用 (1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度; (2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可 点睛：倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 1.下列图中表示直线倾斜角为(　　) 答案:C 2.直线x=1的倾斜角α= . 答案:90° 二、直线的斜率 1.定义与表示 定义(α为直线的倾 斜角) α≠90° 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α=90° 直线斜率不存在 记法 常用小写字母k表示,即k=tan α 范围 R 作用 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度 2.填表:斜率与倾斜角的对应关系 90°;0; (0，＋∞); (－∞，0) 3．思考辨析 (1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．(　　) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.(　　) (3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α.(　　) (4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．(　　) 【解析】　(1)×　倾斜角为90°时，斜率不存在． (2)×　斜率应为－1.(3)×　斜率有可能不存在．(4)√ 4．一条直线的斜率等于1，则此直线的倾斜角等于________． 答案：45°　∵k＝tan α＝1.∴α＝45°. 5．如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 答案：D　由图可知，k1＜0，k2＞k3＞0.故选D. 我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。 如果知道直线上的两点，怎么样来求直线的斜率(倾斜角)呢？ 当 若为钝角呢？ 你还能用其它方法推导这个公式吗？ 三、直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2),则直线的斜率公式为k=y2 点睛：1.运用公式的前提是x1≠x2,即直线不与x轴垂直. 2.斜率公式与P1,P2在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的. 3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成k=y2-y 6.已知点P1(3,5),P2(-1,-3),则直线P1P2的斜率k等于(　　) A.2 B.1 C.12 答案:A 例1 已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动角α(0°α180°)后,恰好与y轴重合,求直线l转动前的倾斜角是多少? 思路分析:画草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角 解:由题意画出如下草图.由图可知: 当α为钝角时,倾斜角为α-90°, 当α为锐角