轨迹方程的求法及典型例题(含答案).doc

PAGE PAGE 19 轨迹方程的求法 一、知识复习 轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法 注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点. 一、知识复习 例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。 例2、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程. 解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|. 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2) 又|AR|=|PR|= 所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动. 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=, 代入方程x2+y2－4x－10=0,得 －10=0 整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程. 例3、如图, 直线L1和L2相交于点M, L1?L2, 点N ?L1. 以A, B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等. 若?AMN为锐角三角形, |AM|= EQ \R(,17) , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C的方程. 解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。 依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。 设曲线段C的方程为， 其中xA,xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|。 由①，②两式联立解得。再将其代入①式并由p0解得 因为△AMN是锐角三角形，所以，故舍去 ∴p=4,xA=1 由点B在曲线段C上，得。 综上得曲线段C的方程为 解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为 轴，M为坐标原点。 作AE⊥l1,AD⊥l2，BF⊥l2垂足分别为E、D、F 设A(xA, yA)、B(xB, yB)、N(xN, 0) 依题意有 例4、已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程． 解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设， 则PA：QB： 消去t，得 当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是 例5、设点A和B为抛物线 y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线. 解法一：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b 由OM⊥AB，得k=－ 由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0 所以x1x2=, y1y2=， 由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2 所以=－, b=－4kp 故y=kx+b=k(x－4p), 得x2+y2－4px=0(x≠0) 故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)， 它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点. ①②③④⑤|解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2),M( ① ② ③ ④ ⑤| ①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2) 若x1≠x2,则有 ⑥ ①×②,得y12·y22=16p2x1x2 ③代入上式有y1y2=－16p2 ⑦ ⑥代入④，得 ⑧ ⑥代入⑤，得所以 即4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2 ⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0) 当x1=x2时，AB⊥x轴，易得M(4p,0)仍满足方程. 故点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点. 轨 迹 方 程(练习1) 1．(08、山东文22)已知曲线：所围成的封闭图形的面积为 ，曲线的内切圆半径为，记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆的标准方程； (2)设是过椭圆中心的任意弦，是线段的 垂直平分线，是上异于椭圆中心的点． ①若＝λ(为坐标原点)，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程； ②若是与椭圆的交点，求的面积的最小值． 解：(1)由题意得 椭圆方程：＝1． (2)若AB所在的斜率存在且不为零，设 AB所在直线方程为y＝