平面向量重难点解析.pdf

平面向量 重难点解析 课文目录 2.1 平面向量得实际背景及基本概念 2 ．2 平面向量得线性运算 2 ．3 平面向量得基本定理及坐标表示 2.4 平面向量得数量积 2 ．5 平面向量应用举例 目标： １、理解与掌握平面向量有关得概念; 2、熟练掌握平面向量得几何运算与坐标运算； 3、熟悉平面向量得平行、垂直关系与夹角公式得应用； 4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面得应用; 重难 : 重点:向量得综合应用。 难点：用向量知识,实现几何与代数之间得等价转化。 【要点精讲】 1、向量得概念：既有大小又有方向得量叫向量,有二个要素:大小、方向、 2、向量得表示方法： ①用有向线段表示 （几何表示法); ②用字母、等表示（字母表示法); ③平面向量得坐标表示(坐标表示法): 分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底。任作一个向量,由平面向量基本 定理知，有且只有一对实数、,使得，叫做向量得(直角)坐标,记作,其中叫做在轴上得坐标,叫 做在轴上得坐标， 特别地,,,。;若,,则, 3、零向量、单位向量: ①长度 0得向量叫零向量,记 ; ②长度 1个单位长度得向量,叫单位向量、(注:就就是单位向量) 4、平行向量: ①方向相同或相反得非零向量叫平行向量; ②我们规定与任一向量平行、向量、、平行，记作∥∥、共线向量与平行向量关系:平行向量 就就是共线向量、 性质：就是唯一） (其中 ） ５、相等向量与垂直向量: ①相等向量:长度相等且方向相同得向量叫相等向量、 ②垂直向量——两向量得夹角 性质: （其中) 6、向量得加法、减法: ①求两个向量与得运算,叫做向量得加法。向量加法得三角形法则与平行四边形法则。 平行四边形法则: （起点相同得两向量相加,常要构造平行四边形） 三角形法则 ——加法法则得推广: …… 即个向量……首尾相连成一个封闭图形,则有…… ②向量得减法向量加上得相反向量,叫做与得差。即： = + （); 差向量得意义: = , =, 则= ③平面向量得坐标运算：若,,则，,。 ④向量加法得交换律:＋=+;向量加法得结合律：(+） +=+ (+) ⑤常用结论: （1）若,则 D 就是 AB 得中点 (2)或 G 就是△ABC 得重心,则 ７．向量得模: 1、定义:向量得大小，记为 ｜| 或 || 2、模得求法: 若 ,则 || 若, 则 || 3、性质: ( １) ； (实数与向量得转化关系） (2)，反之不然 (3)三角不等式: (4) ( 当且仅当共线时取“=”) 即当同向时 ，； 即当同反向时 ， （5)平行四边形四条边得平方与等于其对角线得平方与, 即 ８.实数与向量得积:实数λ与向量得积就是一个向量,记作:λ (1）|λ｜= ｜λ||| ； (2)λ＞0 时λ与方向相同;λ0 时λ与方向相反;λ=0 时λ=; (3）运算定律 λ( μ)= （λμ) ，（λ＋μ)=λ+ μ,λ(+)=λ+λ 交换律:; 分配律： (） ·＝( ·）= ·(）; ——①不满足结合律：即 ②向量没有除法运算。如:,都就是错误得 (4)已知两个非零向量,它们得夹角为,则 = 坐标运算：,则 ( ５）向量在轴上得投影为: ︱︱, (为得夹角,为得方向向量） 其投影得长为 (为得单位向量) （6)得夹角与得关系： （1)当时,同向;当时,反向 (2)为锐角时,则有; 为钝角时,则有 ９.向量共线定理: 向量与非零向量共线（也就是平行)得充要条件就是:有且只有一个非零实数λ,使=λ。 10.平面向量基本定理: 如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对 实数λ,λ 使=λ +λ 。 1 2 1 2 (1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量得一组基底； (2)基底不惟一,关键就是不共线；