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高中数学外接球的几种常见求法
高中数学外接球的几种常见求法
高三微专题:外接球
一、由球的定义确定球心
在空间,如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就 是该简单多面体的外接球的球心.
简单多面体外接球问题是立体几何中的重点,难点, 此类问题实质是①确定球心O 的 位置 ②在 Rt△用勾股定理求解外接球半径(其中底面外接圆半径 r 可根据正弦定理求得).
二、球体公式
1.
1.球表面积 S=4 R 2
2.球体积公式V= R3
3
三、球体几个结论:
(1)长方体,正方体外接球直径=体对角线长
(2)侧棱相等,顶点在底面投影为底面外接圆圆心
(3)直径所对的球周角为 90°(大圆的圆周角)
(4)正三棱锥对棱互相垂直
四、外接球几个常见模型
1.长方体(正方体)模型
高中数学外接球的几种常见求法
例 1 (2017 年新课标Ⅱ)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球 O 的球面上,则
球 O 的表面积为( )
答案: 14
中
中,
高中数学外接球的几种常见求法
练习 1 (2016 新课标Ⅱ)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
( )
答案: 12
2.正棱锥(圆锥)模型(侧棱相等,底面为正多边形)
球心位置:位于顶点与底面外心连线线段
(或延长线)上
半径公式: R2 (h R)2 r2 (R 为外接球半径,
r 为底面外接圆半径, h 为棱锥的高, r 可根
据正弦定理 a 2r
sin A
(一边一对角)
例 2.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为 ,体积为 ,则这个球的表面积是____
.
【解析】
正四棱锥的高为 ,体积为 ,易知底面面积为 ,底面边长为 .
正四棱锥 的外接球的球心在它的高 上,记为 , ,
,在
,由勾股定理
得 .所以,球的表面积 .
高中数学外接球的几种常见求法
练习 2.正三棱锥 S ABC 中,底面ABC 是边长为 3 的正三角形,侧棱长为2 ,则该
三棱锥的外接球体积等于 .
2 4
sin 60 3解析: ABC 外接圆的半径为 ,三棱锥 S ABC 的直径为2R ,外接球半
sin 60 3
2
径R ,
3
2 4 4 8 32 3或R2 (R 3)2 1 , R ,外接球体积V R3
2 4 4 8 32 3
3 3 3 3 3 27
3. 侧棱与底面垂直锥体(直棱柱,圆柱)
(1) 侧棱与底面垂直:
球心位置:底面外心正上方,侧棱中垂面
交汇处(高的一半处)
半径公式: R2 r2 (h )2 ,(R 为外接球半径,
2
r 为底面外接圆半径, h 为棱锥的高, r 可根据正弦定理 a 2r sin A
(一边一对角)
高中数学外接球的几种常见求法
(2) 直棱柱(圆柱)
球心位置:上下底面外心连线中点处
公式公式: R2 r2 (h )2 , (R 为外接球半径, r 为底面外接圆半径, h
2
为棱锥的高, r 可根据正弦定理 a 2r
sin A
(一边一对角)
例 3.在四面体S ABC 中, SA 平面ABC , BAC 120 , SA AC 2, AB 1,
则该四面体的外接球的表面积为( ) A.11
B.7
10
C.
3
40
D.
3
解析: 在ABC 中, BC2 AC2 AB2 2AB BC cos120 7 ,
BC 7 2 7
sin BAC 3 3BC 7 , ABC 的外接球直径为2r
sin BAC 3 3
2
SA 10 40 R2 r2 ( )2 , R2 , S ,选
SA 10 40
2 3 3
练习 3 (1)直三棱柱ABC
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