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高中数学外接球的几种常见求法 高中数学外接球的几种常见求法 高三微专题：外接球 一、由球的定义确定球心 在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就 是该简单多面体的外接球的球心． 简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点， 此类问题实质是①确定球心O 的 位置 ②在 Rt△用勾股定理求解外接球半径(其中底面外接圆半径 r 可根据正弦定理求得)． 二、球体公式 1. 1.球表面积 S=4 R 2 2.球体积公式V= R3 3 三、球体几个结论： (1)长方体，正方体外接球直径=体对角线长 (2)侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心 (3)直径所对的球周角为 90°(大圆的圆周角) (4)正三棱锥对棱互相垂直 四、外接球几个常见模型 1.长方体(正方体)模型 高中数学外接球的几种常见求法 例 1 (2017 年新课标Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则 球 O 的表面积为( ) 答案： 14 中 中， 高中数学外接球的几种常见求法 练习 1 (2016 新课标Ⅱ)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( ) 答案： 12 2.正棱锥(圆锥)模型(侧棱相等，底面为正多边形) 球心位置：位于顶点与底面外心连线线段 (或延长线)上 半径公式： R2 (h R)2 r2 (R 为外接球半径， r 为底面外接圆半径， h 为棱锥的高， r 可根 据正弦定理 a 2r sin A (一边一对角) 例 2.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为 ，体积为 ，则这个球的表面积是____ . 【解析】 正四棱锥的高为 ，体积为 ，易知底面面积为 ，底面边长为 ． 正四棱锥 的外接球的球心在它的高 上，记为 ， ， ，在 ，由勾股定理 得 ．所以，球的表面积 . 高中数学外接球的几种常见求法 练习 2．正三棱锥 S ABC 中，底面ABC 是边长为 3 的正三角形，侧棱长为2 ，则该 三棱锥的外接球体积等于 . 2 4 sin 60 3解析： ABC 外接圆的半径为 ，三棱锥 S ABC 的直径为2R ，外接球半 sin 60 3 2 径R ， 3 2 4 4 8 32 3或R2 (R 3)2 1 ， R ，外接球体积V R3 2 4 4 8 32 3 3 3 3 3 3 27 3. 侧棱与底面垂直锥体(直棱柱，圆柱) (1) 侧棱与底面垂直： 球心位置：底面外心正上方，侧棱中垂面 交汇处(高的一半处) 半径公式： R2 r2 (h )2 ,(R 为外接球半径， 2 r 为底面外接圆半径， h 为棱锥的高， r 可根据正弦定理 a 2r sin A (一边一对角) 高中数学外接球的几种常见求法 (2) 直棱柱(圆柱) 球心位置：上下底面外心连线中点处 公式公式： R2 r2 (h )2 , (R 为外接球半径， r 为底面外接圆半径， h 2 为棱锥的高， r 可根据正弦定理 a 2r sin A (一边一对角) 例 3.在四面体S ABC 中， SA 平面ABC ， BAC 120 , SA AC 2, AB 1, 则该四面体的外接球的表面积为( ) A.11 B.7 10 C. 3 40 D. 3 解析： 在ABC 中， BC2 AC2 AB2 2AB BC cos120 7 ， BC 7 2 7 sin BAC 3 3BC 7 ， ABC 的外接球直径为2r sin BAC 3 3 2 SA 10 40 R2 r2 ( )2 , R2 ， S ，选 SA 10 40 2 3 3 练习 3 (1)直三棱柱ABC