恒成立及存在性问题的解题策略.doc

. PAGE 6 1 “恒成立问题〞与“存在性问题〞的根本解题策略 一、“恒成立问题〞与“存在性问题〞的根本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的根本类型 1、恒成立问题的转化：恒成立； 2、能成立问题的转化：能成立； 3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M 另一转化方法：假设在D上恰成立，等价于在D上的最小值，假设在D上恰成立，则等价于在D上的最大值. 设函数、，对任意的，存在，使得，则 5、设函数、，对任意的，存在，使得，则 6、设函数、，存在，存在，使得，则 7、设函数、，存在，存在，使得，则 8、设函数、，对任意的，存在，使得，设f(*)在区间[a,b]上的值域为A，g(*)在区间[c,d]上的值域为B,则A?B. 9、假设不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方； 10、假设不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方； 恒成立问题的根本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下*些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上*结论成立问题,其表现形式通常有:?在给定区间上*关系恒成立;?*函数的定义域为全体实数R;?*不等式的解为一切实数;?*表达式的值恒大于a等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量别离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。 二、恒成立问题解决的根本策略 大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。 〔一〕两个根本思想解决“恒成立问题〞 思路1、 思路2、 如何在区间D上求函数f(*)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进展求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f〔*〕的最值。 这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。 〔二〕、赋值型——利用特殊值求解等式恒成立问题 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得. 例1．如果函数y=f(*)=sin2*+acos2*的图象关于直线*= 对称，则a=〔 〕. A.1 B.-1 C . D. -. 略解：取*=0及*=，则f(0)=f(),即a=-1，应选B. 此法表达了数学中从一般到特殊的转化思想. 例〔备用〕．由等式*4+a1*3+a2*2+a3*+a4= (*+1)4+b1(*+1)3+ b2(*+1)2+b3(*+1)+b4 定义映射f：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则f：(4,3,2,1) → ( ) A.10 B.7 C.-1 D.0 略解：取*=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，应选D 〔三〕分清根本类型，运用相关根本知识，把握根本的解题策略 1、一次函数型： 假设原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷 给定一次函数y=f(*)=a*+b(a≠0),假设y=f(*)在[m,n]恒有f(*)0，则根据函数的图象〔直线〕可得上述结论等价于 同理，假设在[m,n]恒有f(*)0， 则有 nm n m o * y n m o * y 例2．对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式*2+a*+12a+*恒成立的*的取值围. 分析：在不等式中出现了两个字母：*及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]关于a的一次函数大于0恒成立的问题. 解：原不等式转化为(*-1)a+*2-2*+10在|a|2时恒成立, 设f(a)= (*-1)a+*2-2*+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有： 即解得： ∴*-1或*3. 即*∈(－∞,－1)∪(3,+∞) 此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在*轴上方〔或下方〕即可. 2、二次函数型 涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼