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易错警示 解析:(1)由题设可得f′(x)=3 +2ax+b. ∵f′(x)的图象过点(0,0),(2,0), ∴ 解得a=-3,b=0. (2)由f′(x)=3 -6x>0,得x>2或x<0, ∴在(-∞,0)上f′(x)>0,在(0,2)上f′(x)<0, 在(2,+∞)上f′(x)>0, ∴f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上递增,在(0,2)上递减, 因此f(x)在x=2处取得极小值,所以 =2, 由f(2)=-5,得c=-1,∴f(x)= -3 -1. 【例】函数f(x)= 在x=1处有极值10,求a、b的值. 错解 f′(x)= ,由题意知 f′(1)=0,且f(1)=10, 即2a+b+3=0,且 +a+b+1=10, 解得a=4,b=-11或a=-3,b=3. 错解分析 错误的主要原因是把f( )为极值的必要条件当作了充要条件. 正解 f( )为极值的充要条件是f′( )=0且f′(x)在 附近两侧的符号相反. 所以后面应该加上:当a=4,b=-11时, f′(x)=3 +8x-11=(3x+11)(x-1)在x=1附近两侧的符号相反,∴a=4,b=-11满足题意; 当a=-3,b=3时,f′(x)=3(x-1)2在x=1附近两侧的符号相同, ∴a=-3,b=3应舍去. 综上所述,a=4,b=-11. 考点演练 10. (2009·成都模拟)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:f(-x)+f(x)=0.当x∈(-1,0)时,函数f(x)的导函数f′(x)<0恒成立.如果f(1-a)+f(1- )>0,则实数a的取值范围为 . 解析: ∵f(-x)=-f(x),x∈(-1,1),∴f(x)为奇函数; 又x∈(-1,0)时,f′(x)<0, ∴f′(x)在(-1,0)上是单调递减函数. 由奇函数的性质可知f(x)在x∈(-1,1)上为单调递减函数, ∴f(1-a)+f(1- )>0f(1-a)>f( -1) 答案: (1, ) 11. 已知函数f(x)= .若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围. 解析:f′(x)=3 -2ax-3. ∵f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴f′(x)在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0,即3 -2ax-3≥0在 [1,+∞)上恒成立,则必有 令g(x)= ,又∵g(x)在[1,+∞)上为增函数, ∴当x=1时,g(x)取最小值0,∴ ≤0,即a≤0. 12. (2009·北京)设函数f(x)= -3ax+b(a≠0). (1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值; (2)求函数f(x)的单调区间与极值点. 解析:(1)f′(x)=3 -3a. 因为曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切, 解得a=4,b=24. (2)f′(x)=3( -a)(a≠0). 当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,此时函数f(x)没有极值点. 当a>0时,由f′(x)=0得x=± . 当x∈(-∞,- )时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x∈(- , )时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈( ,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增. 此时x=- 是f(x)的极大值点,x= 是f(x)的极小值点. 第三节 导数的应用(Ⅱ) 基础梳理 1. 一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较, 其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 2. 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.导数在这一类问题中有着重要的应用,它是求函数最大(小)值的强有力的工具. 3. 导数常常和解含参数的不等式、不等式的证明结合起来,应注意导数在这两方面的应用. 典例分析 题型一 求函数的最值 分析 通过求导,令f′(x)=0,找到函数的极值点,将极值与端点处的函数值相比较,来找到最值. 【例1】已知函数f(x)= ,求函数在[-1,1]上的最值. 解 ∵f(x)= ,∴f′(x)= 令f′(x)=0,得 ,∴x=0,或x=-2(舍去). ∵f(0)=0,f(-1)= ,f(1)=e, ∴ =f(1)=e, =f(0)=0. 学后反思
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