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专题4.2 指数函数
【重点题型归类】
【题型1 指数函数的概念】
【题型2 函数图像】
【题型3 指数函数过定点问题】
【题型4 比较幂值大小】
【题型5 指数型复合函数的单调区间】
【题型6 解指数不等式】
【题型7 指数函数以及指数型复合函数值域与定义域问题】
【题型8 指数型复合函数在区间内的最值问题】
【考点9 与指数函数有关的综合问题 选讲】
【知识点框架梳理】
1.指数函数的定义
(1)一般地,函数y=(a0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.(2)指数函数y=(a0,且a≠1)解析式的结构特征:①的系数为1;②底数a是大于0且不等于1的常数.
2.指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图
象
性质
定义域:R
值域:(0,+∞)
过点(0,1),即x=0时,y=1
当x>0时,y>1;
当x<0时,0<y<1
当x>0时,0<y<1;
当x<0时,y>1
在R上是增函数
在R上是减函数
3.底数对指数函数图象的影响
指数函数y=(a0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.(1)无论是a1还是0a1,在第一象限内,自下而上,图象越高的指数函数的底数越大,即“底大图高”.
(2)左右比较:在直线y=1的上面,a1时,a越大,图象越靠近y轴;0a1时,a越小,图象越靠近
y轴. (3)上下比较:比较图象与直线x=1的交点,交点的纵坐标越大,对应的指数函数的底数越大.
4.比较幂值大小的方法
比较幂值大小的方法:
【经典例题解析】
【题型1 指数函数的概念】
【方法点拨】
(1)定义域必须是实数集R;
(2)自变量是,位于指数位置上,且指数位置上只有这一项;
(3)指数式只有一项,并且指数式的系数为1;
【例1-1】若,上述函数是指数函数的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
【例1-2】函数是指数函数,则( )
B. C. D.
【变式1-1】下列函数是指数函数的是( )
A.y=2x+1 B.y=x3 C.y=3-x D.y=3·2x
【变式1-2】下列函数:①y=3x2;②y=6x;③y=6?2x;④y=8x+1;⑤y=﹣6
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【变式1-3】函数y=(a2﹣4a+4)ax是指数函数,则a的值是( )
A.4 B.1或3 C.3 D.1
【题型2 函数图像】
【方法点拨】
(1)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).
(2)利用函数的性质:奇偶性与单调性.
(3)指数函数的图像的特点:
①若,(谁底越大,越偏向坐标轴)
即当时,总有;
当时,总有;
当时,总有。
(4)指数函数图象的识别:对于所给函数解析式,研究函数的单调性、特殊值等,利用排除法,得出正确的函数图象.
【例2-1】如图,①②③④中不属于函数y=2x,y=3x,y=(1
A.① B.② C.③ D.④
【例2-2】如图所示,二次函数y=ax2+bx与指数函数y=(a
A.B. C. D.
【例2-3】函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a1,b0 B.a1,b0 C.0a1,b0 D.0a1,b0
【变式2-1】已知函数y=ax、y=bx、y=cx、y=dx的大致图像如图所示,则下列不等式一定成立的是( )
A.b+d>a+c B.b+d<a+c C.a+d>b+c D.a+d<b+c
【变式2-2】函数的大致图象是
A.B.C. D.
【变式2-3】已知函数,则函数的图象大致是
A.B. C. D.
【题型3 指数函数过定点问题】
【方法点拨】
抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1),
求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点.
【例3】函数且的图象过一个定点,则这个定点坐标是
A. B. C. D.
【变式3-1】不论为何值时,函数恒过定点,则这个定点的坐标是
A. B. C. D.
【变式3-2】函数的图象恒过定点
A. B. C. D.
【变式3-3】已知函数恒过定点,则函数
不经过
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【题型4 比较幂值大小】
【方法点拨】
(1)归类:根据实际问题常将其分成三类:一类是负数;一类是大于0小于1的数;
一类是大于1的数,再对三类数比较大小。
(2)若底数相同,则可根据指数函数的性质得出结果。
(3)若底数不相同,则首先考虑能否化成同底数,然后根据指数
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