对数函数讲义--暑假初高衔接高一数学.docx

PAGE PAGE 1 专题4.4 【重点题型归类】 【题型1 对数函数概念运用】 【考点2 与对数函数有关的函数图象识别】 【题型3 对数式的大小比较】 【题型4 对数函数定义域】 【考点5 对数函数图象过定点问题】 【题型6 解对数不等式】 【题型7 复合函数的单调性问题】 【题型8 与对数函数有关的值域问题】 【题型9 综合问题】 【题型10 反函数】 【知识点框架梳理】 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y＝logax；②底数a满足a0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). 例如:y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 2.两种特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 3.对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象与性质列表如下： a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 性质理解： (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a1时，对数函数的图象“上升”; 当0a1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=logax与y= (a0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a1还是0a1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a1时,a越大,图象越靠近x轴;0a1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 4.反函数 （1）对数函数y＝logax(a0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a0，且a≠1)互为反函数。 （2）①互为反函数的两个函数的图像关于直线对称；②若点在图像上，则点必在其反函数图像上，反之也成立。 （3）互为反函数的函数具有相同的单调性。 【经典例题解析】 【题型1 对数函数概念运用】 【方法点拨】 判断一个函数是对数函数的方法 【例1】下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)． A．1个　　B．2个 C．3个 　 D．4个 【变式1-1】已知下列函数： ①；②；③；④ 其中是对数函数的是 。 【变式1-2】下列函数中，是对数函数的个数为（　　） ①y＝logax2（a＞0，且a≠1）；②y＝log2x﹣1；③y＝2log8x；④y＝logxa（x＞0，且x≠1）；⑤y＝log5x；⑥y＝logax（a＞0，a≠1） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点2 与对数函数有关的函数图象识别】 【方法点拨】 （1）平移变换 ①将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像； ②将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像； ③将函数的图像向上平移个单位，得到函数的图像； ④将函数的图像向下平移个单位，得到函数的图像。 （2）对称变换 ①函数的图像与函数的图像关于轴对称； ②函数的图像与函数的图像关于轴对称； ③函数的图像与函数的图像关于原点对称； ④函数的图像是函数在轴右方的图像不变，把轴左方的图像去掉，并把轴右方图像翻折到轴左方； ⑤函数的图像是函数在轴上方的图像不变，把轴下方的图像翻折到轴上方； ⑥函数的图像是关于直线对称的轴对称图形。 （3）比较底数大小的方法 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．（对于底数这类对数，谁底大，谁就越偏向坐标轴；对于底数这类对数，谁底母大，谁就越偏向坐标轴） 【例2-1】如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则(　　) A．a4a31a2a10 B．a3a41a1a20 C．a2a11a4a30 D．a1a21a3a40 【例2-2】已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝﹣logbx在同一坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【例2-3】作函数y＝