一元函数的导数及其应用知识点复习讲义.docx

PAGE 1 一元函数的导数及其应用复习讲义 【基础知识】 一.导数定义：在点处的导数记作 二.导数的几何意义 函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。 注意两种情况： 1.曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是： 2.曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。 三.常见函数的导数公式: ①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。 四.导数的四则运算和复合函数的求导法则： （1） (2) （3）（4） 五.导数的应用： 1.利用导数判断函数单调性：设函数在某个区间内可导， ①该区间内为增函数； ②该区间内为减函数； 注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。 = 3 \* GB3 ③在该区间内单调递增在该区间内恒成立； = 4 \* GB3 ④在该区间内单调递减在该区间内恒成立； 2.利用导数求极值： （1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作＝，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作＝。极大值和极小值统称为极值。 （2）求函数在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数；（ii）求方程的根；（iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。 特别提醒： = 1 \* GB3 ①是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。 = 2 \* GB3 ②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ 3.利用导数求最值：比较端点值和极值 （1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。 （2）求函数在[]上的最大值与最小值的步骤： = 1 \* GB3 ①求函数在（）内的极值（极大值或极小值）； = 2 \* GB3 ②将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 六.常考题型 5.1　导数的概念及其意义 题型一：导数（导函数）的理解 【例】已知：。计算：的值。 解：根据导数的定义得到： 。 变式 【变式1】设在处可导，则（ ）． A． B． C． D． 【变式2】函数在处的导数可表示为，即（ ）． A． B． C． D． 题型二：导数定义中的极限的简单计算 【例】已知函数在处的导数为1，则（ ） A．0 B． C．1 D．2 【详解】因为函数在处的导数为1， 则.故选：B. 【变式1】若，则（ ） A．－4 B．4 C．－1 D．1 【详解】因为，所以．故选：C 题型三：利用导数几何意义求切线方程 【例】在曲线E：上求出满足下列条件的点P的坐标． （1）在点P处曲线E的切线平行于直线；（2）在点P处曲线E的切线的倾斜角是135°． 解：（1）． 设为所求的点．因为切线与直线平行，所以，解得，所以，即． （2）因为切线的倾斜角是135°，所以其斜率为，即，解得．所以，即． 【变式1】已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（ ） A． B． C．或 D．或 5.2　导数的运算 题型一：利用导数公式和运算法则求函数的导数 1．求下列函数的导数； （1）（2）（3） （4）（5）（6） 解：（1）（2）（3） （4）（5）（6） 题型二：复合函数与导数的运算法则的综合应用 1．求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 2．求下列函数的导数． （1） （2） （3）； 题型三：与切线有关的综合问题（切点、某点） 【例】已知函数. （1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数过点的切线方程. 【分析】（1）求导，求出切线斜率即可 （2）设切点为，求出切线方程，代入点，解方程可得切点，进而可得直线方程 解：（1）由已知，则，故切线方程为，即 （2）设切点为，则切线方程为， 代入点可得，解得或又， 故切线方程为或即切线方程为或 【变式1】曲线在点处的切线方程为 。 【变式2