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类比探究专题训练
已知OM是∠AOB的平分线,点P是射线OM上一点,点C,D分别在射线OA,OB上,连接PC,PD.
(1)发现问题
如图1,当PC⊥OA,PD⊥OB时,则PC与PD的数量关系是_________.
(2)探究问题
如图2,点C,D在射线OA,OB上滑动,且∠AOB=90°,当PC⊥PD时,PC与PD在(1)中的数量关系还成立吗?说明理由.
如图,AD∥BC,若∠ADP=∠α,∠BCP=∠β,射线OM上有一动点P.
(1)当点P在A,B两点之间运动时,∠CPD与∠α,∠β之间有何数量关系?请说明理由.
(2)如果点P在A,B两点外侧运动时(点P与点A,B,O三点不重合),请你直接写出∠CPD与∠α,∠β之间的数量关系.
已知:如图,直线a∥b,直线c与直线a,b分别相交于C,D两点,直线d与直线a,b分别相交于A,B两点,点P在直线AB上运动(不与A,B两点重合).
(1)如图1,当点P在线段AB上运动时,总有:∠CPD=∠PCA+∠PDB,请说明理由;
(2)如图2,当点P在线段AB的延长线上运动时,∠CPD,∠PCA,∠PDB之间有怎样的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,当点P在线段BA的延长线上运动时,∠CPD,∠PCA,∠PDB之间又有怎样的数量关系(只需直接给出结论)?
综合与实践:(1)如图,已知:在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,E.小明观察图形特征后猜想线段DE,BD和CE之间存在DE=BD+CE的数量关系,请你判断他的猜想是否正确,并说明理由.
(2)如图,将(1)中的条件改为:△ABC为等边三角形,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=60°,请问结论DE=BD+CE是否成立?并说明理由.
(3)如图,若将(1)中的三角形变形为一般的等腰三角形,△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角,D,A,E三点都在直线m上.问:满足什么条件时,结论DE=BD+CE仍成立?直接写出条件即可.
在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,△ADC和△CEB全等吗?请说明理由.
(2)聪明小亮发现,当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,可得DE=AD+BE,请你说明其中的理由.
(3)小亮将直线MN绕点C旋转到图2的位置,线段DE,AD,BE之间存在着什么的数量关系,请写出这一关系,并说明理由.
阅读理解:如图1,在△ABC中,若AB=10,BC=8.求AC边上的中线BD的取值范围.小聪同学是这样思考的:延长BD至E,使DE=BD,连接CE.利用全等将边AB转化到CE,在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围.在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______________;中线BD的取值范围是_______________.
(2)问题解决:如图2,在△ABC中,点D是AC的中点,点M在AB边上,点N在BC边上,若DM⊥DN.求证:AM+CN>MN.
(3)问题拓展:如图3,在△ABC中,点D是AC的中点,分别以AB,BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中∠ABM=NBC=∠90°,连接MN,探索BD与MN的关系,并说明理由.
乐乐和数学小组的同学们研究了如下问题,请你也来试一下吧!点C是直线l1上一点,在同一平面内,乐乐他们把一个等腰直角三角板ABC任意摆放,其中直角顶点C与点C重合,过点A作直线l2⊥l1,垂足为点M,过点B作l3⊥l1垂足为N.
(1)如图1时,线段BN,AM与MN之间的数量关系是__________________(不必说明理由);
(2)当直线l2,l3,位于点C的右侧时,如图2,判断线段BN,AM与MN之间的数量关系,并说明理由;
(3)当直线l2,l3,位于点C的左侧时,如图3,请你补全图形,并直接写出线段BN,AM,MN之间的数量关系.
图1 图2
图3
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD.请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系:____________;
(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?请写出证明过程;
(3)在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD所在直线上的点,且∠EAF=∠BAD.请
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