2023-2024备战中考数学锐角三角函数提高练习题压轴题训练及答案.docVIP

2023备战中考数学锐角三角函数提高练习题压轴题训练及答案 一、锐角三角函数 1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB∥CD， ∠ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD 垂直平分 A C．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P作 PE⊥AB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QF∥AC，分别交 AD， OD 于点 F， G．连接 OP，EG．设运动时间为 t ( s )（0＜t＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 ?BAC 的平分线上？ （2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm2) ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）连接 OE， OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE⊥OQ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2） ，；（3）时，取得最大值；（4）时，. 【解析】 【分析】 （1）当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE=EC，由此构建方程即可解决问题． （2）根据S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可． （4）证明∠EOC=∠QOG，可得tan∠EOC=tan∠QOG，推出，由此构建方程即可解决问题． 【详解】 （1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm， ∴AC==6（cm）， ∵OD垂直平分线段AC， ∴OC=OA=3（cm），∠DOC=90°， ∵CD∥AB， ∴∠BAC=∠DCO， ∵∠DOC=∠ACB， ∴△DOC∽△BCA， ∴， ∴， ∴CD=5（cm），OD=4（cm）， ∵PB=t，PE⊥AB， 易知：PE=t，BE=t， 当点E在∠BAC的平分线上时， ∵EP⊥AB，EC⊥AC， ∴PE=EC， ∴t=8-t， ∴t=4． ∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上． （2）如图，连接OE，PC． S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC） = =． （3）存在． ∵， ∴t=时，四边形OPEG的面积最大，最大值为． （4）存在．如图，连接OQ． ∵OE⊥OQ， ∴∠EOC+∠QOC=90°， ∵∠QOC+∠QOG=90°， ∴∠EOC=∠QOG， ∴tan∠EOC=tan∠QOG， ∴， ∴， 整理得：5t2-66t+160=0， 解得或10（舍弃） ∴当秒时，OE⊥OQ． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题. 2．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC． (1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由； (2) 求证：∠ACF=90°； (3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长. 图1 图2 【答案】（1）BE=FH ；理由见解析 （2）证明见解析 （3）=2π 【解析】 试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH （2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明 （3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长 试题解析：（1）BE=FH．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B=90°， ∵FH⊥BC ∴∠FHE=90° 又∵∠AEF=90° ∴∠AEB+∠HEF=90° 且∠BAE+∠AEB=90° ∴∠HEF=∠BAE ∴ ∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF ∴△ABE≌△EHF（SAS） ∴BE=FH (2)∵△ABE≌△EHF ∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE=CH ∴CH=FH ∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45° ∵AC是正方形对角线，∴ ∠ACD=45° ∴∠ACF=∠FC