2023-2024精选备战中考数学易错题专题复习锐角三角函数及答案.docVIP

2023精选备战中考数学易错题专题复习锐角三角函数及答案 一、锐角三角函数 1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案． 试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x． （1）求证：△ABC∽△BCD； （2）求x的值； （3）求cos36°-cos72°的值． 【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）． 【解析】 试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似； （2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可； （3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果． 试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD=36°， ∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C， ∴△ABC∽△BCD； （2）∵∠A=∠ABD=36°， ∴AD=BD， ∵BD=BC， ∴AD=BD=CD=1， 设CD=x，则有AB=AC=x+1， ∵△ABC∽△BCD， ∴，即， 整理得：x2+x-1=0， 解得：x1=，x2=（负值，舍去）， 则x=； （3）过B作BE⊥AC，交AC于点E， ∵BD=CD， ∴E为CD中点，即DE=CE=， 在Rt△ABE中，cosA=cos36°=， 在Rt△BCE中，cosC=cos72°=， 则cos36°-cos72°=-=． 【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形． 3．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G. (1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB＝5，，求PD的长； (3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围) 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【解析】 试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论. （2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长. （3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果. 试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B， 又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC. ∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD. 又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF. （2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴. ∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴. ∵AB⊥CD，∴. 如图，连接BP， ∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，. ∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6. 由（1）△PAC∽△PDF得，即. ∴PD的长为. （3）如图，连接BP，BD，AD， ∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即. ∵AB⊥CD，BP⊥A