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考点38复数
在考点详解—
【命题解读】
考查复数的概念、几何意义、复数的运算.常见题型有选择题、填空题,重点考查除法、乘法等运算, 同时考查复数的模、共貌复数等概念.
【基础知识回顾】
.复数
(1)复数的意义:形如z=a+b/(a b£R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2= —1 5 a叫做实 部,b叫做虚部,复数集记作C,数集N、Z、Q、R、C的关系是:N漕Z淆Q淆R漕C.
(2)复数的模:z=〃+Ai,团=、济+。2.
(3)复数相等:z\=a\+b\\ 5 Z2=ai+b2\ ? zi=Z2 5 那么 a\=ai,b\=bi.
(4)共辄复数:z=a+b\ 5 z—=a—h\- z与z—互为共辄复数.
.复数的四那么运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法那么.
设 zi=a+bi,Z2=c+dz(a,b,c,d£R),那么
①加法:zi+z2=(〃+/?i) + (c+di) = (〃+c) + S+t/)i;
②减法:zi-Z2=(a+bi) — (c+di) = m—c) + S—df)i;
③乘法:zi ? Z2=(a-\- /?/)? (c+di) = (ac—bet) + (ad + /?c)i;z\ a+bi (,+bi) (c-di)
④除法:-=c+di= (c+di) (c—di)Qac+bd) + {be—ad} i
=c2+^(c+di W 0),
.复数的几何意义
(1)复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.
(2)实轴、虚轴:在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚 轴上的点都表示纯虚数.
.复数的几何表示复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量=(a,b)(a,b£R)是对应关系.
营热身训练1、假设复数其中i为虚数单位,贝丘=()
A. 1 + iB. 1 — iC. -1 + iD. -1 — i
【答案】A
【解析】z = 捻 =湍蒿=1T那么共辗复数W = 1 + i.
2、假设复数2 = 〃22 +根+ (勿2+1万是纯虚数,其中相是实数,那么[等于()
211、【2018年高考浙江卷】复数一Ji为虚数单位)的共加复数是 1-1
A. 1+iB. 1-i
C. -1+iD. -1-i
【答案】B
【解析】???二二型tD = l + i, ???共钝复数为1 —i,应选B.
1-12
A. iB. -iC. 2iD. -2i
【答案】B
【解析】 复数z=m(m+l) + (m+l)i是纯虚数,故 m(m+ 1)=0 且(加+1)^0,解得 m=0,
1 bi
故2= 故三=j=T[=—i.应选B.
3、设z =,+,:,那么z的虚部是+ 2i
4,A. -1B. ——iC. -2iD. -2
5
【答案】D
【解析】 根据复数的乘法与除法运算,那么
o2—iz =产 +
l + 2i
= .2x,+ (2-0(1-20 (l + 2i)(l-2i) ■ ?
=I
=—2i根据虚部定义,那么虚部为2
2-3i4、(多项选择题)复数z满足一r2-31 = 2,那么以下说法正确的选项是()
A.z的实部为3B.z的虚部为2C.z = -3 + 2iD.忖=回
【答案】BD【解析】
【解析】由号v —于=2得,z =
【解析】由号v —于=2
【解析】由号v —于=2得,z =
(2 + 3i)(3 + 2i)13i13i-(2 + 3i)
2-3i
2-3i (2 —3i)(2 + 3i)
= i(2 + 3i) = —3 + 2i
所以z的实部为3虚部为2,z = -3-2i,|z| = V13,应选BD.
所以z的实部为
所以z的实部为3虚部为2,z = -3-2i,|z| = V13,应选BD.
2
5、(多项选择题)下面是关于复数”不(为虚数单位)命题,其中真命题为()
A. z = 2
A. z = 2B.z2
A. z = 2
B.z2=2i
C z的共钝复数为1 + iD. z的虚部为7
【答案】
BD
【解析】2 _2(-1-/)-1 + z-(-1 + 0C-1-0
【解析】
z2 =23 B 正确;
Z的共貌复数为-1+i, C错误;z的虚部为—1, D正确.
6、复数z = 口的共粗复数为二那么[的虚部为o2 + 1
【答案】-1【解析】z = 会=(=段二: == T + i,所以\T_i,那么、的虚部为T。
Z +1 (,+ 1)(,一 1)〉,+#i
7、。£R, i是虚数单位,假设复数z=仍+ i £R,那么复数z=.
【答案】小a+gi (〃+仍。(小—i)
【解析】二复数z=^ + i =(小+。(仍_0
小(l+a)+3-i S(1+。)3~a=4=4+ 4 i 6 R,
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