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2023备战中考数学易错题精选-锐角三角函数练习题附详细答案
一、锐角三角函数
1.如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上一点,点F在射线CM上,∠AEF=90°,AE=EF,过点F作射线BC的垂线,垂足为H,连接AC.
(1) 试判断BE与FH的数量关系,并说明理由;
(2) 求证:∠ACF=90°;
(3) 连接AF,过A,E,F三点作圆,如图2. 若EC=4,∠CEF=15°,求的长.
图1 图2
【答案】(1)BE=FH ;理由见解析
(2)证明见解析
(3)=2π
【解析】
试题分析:(1)由△ABE≌△EHF(SAS)即可得到BE=FH
(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB,FH=EB,从而可知△FHC是等腰直角三角形,∠FCH为45°,而∠ACB也为45°,从而可证明
(3)由已知可知∠EAC=30°,AF是直径,设圆心为O,连接EO,过点E作EN⊥AC于点N,则可得△ECN为等腰直角三角形,从而可得EN的长,进而可得AE的长,得到半径,得到所对圆心角的度数,从而求得弧长
试题解析:(1)BE=FH.理由如下:
∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B=90°,
∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°
又∵∠AEF=90° ∴∠AEB+∠HEF=90° 且∠BAE+∠AEB=90°
∴∠HEF=∠BAE ∴ ∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF
∴△ABE≌△EHF(SAS)
∴BE=FH
(2)∵△ABE≌△EHF
∴BC=EH,BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE=CH
∴CH=FH
∴∠FCH=45°,∴∠FCM=45°
∵AC是正方形对角线,∴ ∠ACD=45°
∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°
(3)∵AE=EF,∴△AEF是等腰直角三角形
△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上.设该中点为O.连结EO得∠AOE=90°
过E作EN⊥AC于点N
Rt△ENC中,EC=4,∠ECA=45°,∴EN=NC=
Rt△ENA中,EN =
又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°(等弧对等角)
∴∠EAC=30°
∴AE=
Rt△AFE中,AE== EF,∴AF=8
AE所在的圆O半径为4,其所对的圆心角为∠AOE=90°
=2π·4·(90°÷360°)=2π
考点:1、正方形;2、等腰直角三角形;3、圆周角定理;4、三角函数
2.已知Rt△ABC中,AB是⊙O的弦,斜边AC交⊙O于点D,且AD=DC,延长CB交⊙O于点E.
(1)图1的A、B、C、D、E五个点中,是否存在某两点间的距离等于线段CE的长?请说明理由;
(2)如图2,过点E作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.
①若CF=CD时,求sin∠CAB的值;
②若CF=aCD(a>0)时,试猜想sin∠CAB的值.(用含a的代数式表示,直接写出结果)
【答案】(1)AE=CE;(2)①;②.
【解析】
试题分析:(1)连接AE、DE,如图1,根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°,由于AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE;
(2)连接AE、ED,如图2,由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径,根据切线的性质可得∠AEF=90°,从而可证到△ADE∽△AEF,然后运用相似三角形的性质可得=AD?AF.①当CF=CD时,可得,从而有EC=AE=CD,在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=,根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC,即可求出sin∠CAB的值;②当CF=aCD(a>0)时,同①即可解决问题.
试题解析:(1)AE=CE.理由:
连接AE、DE,如图1,∵∠ABC=90°,∴∠ABE=90,∴∠ADE=∠ABE=90°,∵AD=DC,∴AE=CE;
(2)连接AE、ED,如图2,∵∠ABE=90°,∴AE是⊙O的直径,∵EF是⊙OO的切线,∴∠AEF=90°,∴∠ADE=∠AEF=90°,又∵∠DAE=∠EAF,∴△ADE∽△AEF,∴,∴=AD?AF.
①当CF=CD时,AD=DC=CF,AF=3DC,∴=DC?3DC=,∴AE=DC,∵EC=AE,∴EC=DC,∴sin∠CAB=sin∠CED===;
②当CF=aCD(a>0)时,sin∠CAB=.
∵CF=aCD,AD=DC,∴AF=AD+DC+CF=(a+2)CD,∴=DC?(a+2)DC=(a+2),∴AE=DC,∵EC=AE,∴EC=DC,∴sin∠CAB=sin∠CED==.
考点:1.圆的综合题;2.探究型;3.存在型.
3.在等腰△ABC中,∠B=90°,AM是△ABC的角平分线,过点M作MN⊥AC于点N,∠EMF=135°.将∠EMF绕点M旋转,使∠EMF的两边
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